试题

（2010·南平）如图，已知点B（1，3），C（1，0），直线y=x+k经过点B，且与x轴交于点A，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD．
（1）填空：A点坐标为（，），D点坐标为（，）；
（2）若抛物线y=

1

3

x²+bx+c经过C，D两点，求抛物线的解析式；
（3）将（2）中的抛物线沿y轴向上平移，设平移后所得抛物线与y轴交点为E，点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴．若存在，此时抛物线向上平移了几个单位？若不存在，请说明理由．
（提示：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴是x=-

b

2a

，顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）

解：（1）A（-2，0），D（-2，3）

（2）∵抛物线y=

1

3

x²+bx+c经过C（1，0），D（-2，3）代入，解得：b=-

2

3

，c=

1

3

∴所求抛物线解析式为：y=

1

3

x²-

2

3

x+

1

3

；

（3）答：存在．
∵当点M在抛物线对称轴的左侧或在抛物线的顶点时，仅当M，E重合时，它们的纵坐标相等．
∴EM不会与x轴平行，
当点M在抛物线的右侧时，
设抛物线向上平移H个单位能使EM∥x轴，
则平移后的抛物线的解析式为
∵y=

1

3

（x-1）²+h，
∴抛物线与y轴交点E（0，

1

3

+h），
∵抛物线的对称轴为：x=1，
根据抛物线的对称性，可知点M的坐标为（2，

1

3

+h）时，直线EM∥x轴，
将（2，

1

3

+h）代入y=x+2得

1

3

+h=2+2
解得：h=

11

3

．
∴抛物线向上平移

11

3

个单位能使EM∥x轴．