试题

如图，在直角坐标系xOy中，点A的坐标为（12，-8），点B、C在x轴上，tan∠ABC=

4

3

，AB=AC，AH⊥BC于H，D为AC边上一点，BD交AH于点M，且△ADM与△BHM的面积相等．
（1）求点D坐标；
（2）求过B、C、D三点的抛物线的解析式，并求出抛物线顶点E的坐标；
（3）过点E且平行于AB的直线l交y轴于点G，若将（2）中的抛物线沿直线l平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为E′（点E′在y轴右侧）．是否存在这样的抛物线，使△E′FG为等腰三角形？若存在，请求出此时顶点E′的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵S_△ADM=S_△BHM，∴S_△ACH=S_△BCD，
∵AB=AC，AH⊥BC，∴H是BC中点，∴D是AC中点．
∵AH=8，tan∠ABC=

4

3

，∴BH=CH=6，
∵A的坐标为（12，-8），∴B、C坐标分别为（18，0）、（6，0）．
∴D的坐标为（9，-4）．

（2）设经过B、C、D三点的抛物线的解析式为y=a（x-6）（x-18），
∵抛物线过D点，∴-4=a（9-6）（9-18），∴a=

4

27

．
∴抛物线的解析式为y=

4

27

（x-6）（x-18），顶点E的坐标为（12，-

16

3

）．

（3）设直线l的解析式为y=

4

3

x+b，∵直线过点E，∴b=-

64

3

，
∴G的坐标为（0，-

64

3

）．
∴设平移后的抛物线的解析式为y=

4

27

（x-m）²+

4

3

m-

64

3

∴F的坐标为（0，

4

27

m²+

4

3

m-

64

3

），E′的坐标为（m，

4

3

m-

64

3

），
若E′G=E′F，则

4

27

m²+

4

3

m-

64

3

+

64

3

=2×

4

3

m，
∴m=0（舍去），m=9，此时E′的坐标为（9，-

28

3

）．
若E′G=GF，则

5

3

m=

4

27

m²+

4

3

m-

64

3

+

64

3

∴m=0（舍去），m=

9

4

，此时E′的坐标为（

9

4

，-

55

3

）．
若E′F=GF，不存在．
综上所述E′点的坐标为（9，-

28

3

）或（

9

4

，-

55

3

）．
解：（1）∵S_△ADM=S_△BHM，∴S_△ACH=S_△BCD，
∵AB=AC，AH⊥BC，∴H是BC中点，∴D是AC中点．
∵AH=8，tan∠ABC=

4

3

，∴BH=CH=6，
∵A的坐标为（12，-8），∴B、C坐标分别为（18，0）、（6，0）．
∴D的坐标为（9，-4）．

（2）设经过B、C、D三点的抛物线的解析式为y=a（x-6）（x-18），
∵抛物线过D点，∴-4=a（9-6）（9-18），∴a=

4

27

．
∴抛物线的解析式为y=

4

27

（x-6）（x-18），顶点E的坐标为（12，-

16

3

）．

（3）设直线l的解析式为y=

4

3

x+b，∵直线过点E，∴b=-

64

3

，
∴G的坐标为（0，-

64

3

）．
∴设平移后的抛物线的解析式为y=

4

27

（x-m）²+

4

3

m-

64

3

∴F的坐标为（0，

4

27

m²+

4

3

m-

64

3

），E′的坐标为（m，

4

3

m-

64

3

），
若E′G=E′F，则

4

27

m²+

4

3

m-

64

3

+

64

3

=2×

4

3

m，
∴m=0（舍去），m=9，此时E′的坐标为（9，-

28

3

）．
若E′G=GF，则

5

3

m=

4

27

m²+

4

3

m-

64

3

+

64

3

∴m=0（舍去），m=

9

4

，此时E′的坐标为（

9

4

，-

55

3

）．
若E′F=GF，不存在．
综上所述E′点的坐标为（9，-

28

3

）或（

9

4

，-

55

3

）．