试题

如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B．P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C．过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N．
（1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；
（2）当点C在第一象限时，四边形POBC的面积为S，请判断S是否存在最大（或最小），若存在，求出其值，并判断此时△PBC的形状；
（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由．

（1）证明：∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90°，
∴四边形OBNM为矩形，
∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°，
∵OA=OB，
∴∠1=∠3=45°，
∵MN∥OB，
∴∠2=∠3=45°，
∴∠1=∠2=45°，
∴AM=PM，
∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM，
∴OM=PN，
∵∠OPC=90°，
∴∠4+∠5=90°，
又∵∠4+∠6=90°，
∴∠5=∠6，
∴△OPM≌△PCN；

（2）不存在．
解：设AP长为m，
∵AM=PM=APsin45°=

2

2

m，
∴OM=1-

2

2

m，
∴S=S_矩形OBNM-2S_△POM=（1-

2

2

m）-2×

1

2

（1-

2

2

m）·

2

2

m
=

1

2

m²-

2

m+1
=

1

2

（m-

2

）²，
∴当x＜

2

时，S随m的增大而减小，
∵C在第一象限，
∴当点C于点B重合时，m=

2

2

，
∴0≤m＜

2

2

，
当m=0时，有最大值为1；
此时△PBC是等腰直角三角形．

（3）解：△PBC可能成为等腰三角形，
①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）
②当点C在第四象限，且PB=CB时
有BN=PN=1-

2

2

m
∴BC=PB=

2

PN=

2

-m
∴NC=BN+BC=1-

2

2

m+

2

-m
由（2）知：NC=PM=

2

2

m
∴1-

2

2

m+

2

-m=

2

2

m
整理得（

2

+1）m=

2

+1
∴m=1
∴PM=

2

2

m=

2

2

，BN=1-

2

2

m=1-

2

2

∴P（

2

2

，1-

2

2

）
由题意可知PC=PB不成立
∴使△PBC为等腰三角形的点P的坐标为（0，1）或（

2

2

，1-

2

2

）．
（1）证明：∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90°，
∴四边形OBNM为矩形，
∴MN=OB=1，∠PMO=∠CNP=90°，
∵OA=OB，
∴∠1=∠3=45°，
∵MN∥OB，
∴∠2=∠3=45°，
∴∠1=∠2=45°，
∴AM=PM，
∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM，
∴OM=PN，
∵∠OPC=90°，
∴∠4+∠5=90°，
又∵∠4+∠6=90°，
∴∠5=∠6，
∴△OPM≌△PCN；

（2）不存在．
解：设AP长为m，
∵AM=PM=APsin45°=

2

2

m，
∴OM=1-

2

2

m，
∴S=S_矩形OBNM-2S_△POM=（1-

2

2

m）-2×

1

2

（1-

2

2

m）·

2

2

m
=

1

2

m²-

2

m+1
=

1

2

（m-

2

）²，
∴当x＜

2

时，S随m的增大而减小，
∵C在第一象限，
∴当点C于点B重合时，m=

2

2

，
∴0≤m＜

2

2

，
当m=0时，有最大值为1；
此时△PBC是等腰直角三角形．

（3）解：△PBC可能成为等腰三角形，
①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1）
②当点C在第四象限，且PB=CB时
有BN=PN=1-

2

2

m
∴BC=PB=

2

PN=

2

-m
∴NC=BN+BC=1-

2

2

m+

2

-m
由（2）知：NC=PM=

2

2

m
∴1-

2

2

m+

2

-m=

2

2

m
整理得（

2

+1）m=

2

+1
∴m=1
∴PM=

2

2

m=

2

2

，BN=1-

2

2

m=1-

2

2

∴P（

2

2

，1-

2

2

）
由题意可知PC=PB不成立
∴使△PBC为等腰三角形的点P的坐标为（0，1）或（

2

2

，1-

2

2

）．