试题

如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．
（1）求∠ACB的大小；
（2）写出A，B两点的坐标；
（3）试确定此抛物线的解析式．

解：（1）作CH⊥x轴，H为垂足，
∵CH=1，半径CB=2，
∵∠BCH=60°，
∴∠ACB=120°．

（2）∵C（1，1），
∴CH=OH=1；（1分）
∴在Rt△CHB中，HB=

CB2-CH2

=

3

；
∵CH⊥AB，CA=CB，
∴AH=BH；
故A（1-

3

，0），B（1+

3

，0）．

（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3）；
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）²+3，
由已知得抛物线经过点B（1+

3

，0），
把点B（1+

3

，0）代入上式，
解得a=-1．
故抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3．
解：（1）作CH⊥x轴，H为垂足，
∵CH=1，半径CB=2，
∵∠BCH=60°，
∴∠ACB=120°．

（2）∵C（1，1），
∴CH=OH=1；（1分）
∴在Rt△CHB中，HB=

CB2-CH2

=

3

；
∵CH⊥AB，CA=CB，
∴AH=BH；
故A（1-

3

，0），B（1+

3

，0）．

（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3）；
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）²+3，
由已知得抛物线经过点B（1+

3

，0），
把点B（1+

3

，0）代入上式，
解得a=-1．
故抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3．