试题

在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax²-2ax+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），AB=4，与y轴交于点C，且过点（2，3）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若抛物线的顶点为D，连接CD、CB，问抛物线上是否存在点P，使得∠PBC+∠BDC=90°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点K为抛物线上C关于对称轴的对称点，点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、K、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线的对称轴：x=-

b

2a

=-

-2a

2a

=1，且AB=4，则 A（-1，0）、B（3，0）；
再代入点（2，3）后，可得：

a+2a+c=0 4a-4a+c=3

，解得

a=-1 c=3

∴二次函数的表达式：y=-x²+2x+3．

（2）由（1）知：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，则 D（1，4）；
BC²=18、CD²=2、BD²=20，∴BC²+CD²=BD²，即△BCD是直角三角形，且DC⊥BC．
∴∠BDC+∠DBC=90°，即点D符合点P的要求，P₁（1，4）．
延长DC至E，使得DC=CE，则△BDE是等腰三角形，且∠DBC=∠EBC，则直线BE与抛物线的交点也符合点P的要求（B点除外）
通过图示，不难看出 点D、E关于点C对称，则 E（-1，2），设直线BE：y=kx+b，则有：

3k+b=0 -k+b=2

，解得

k=- 1 2 b= 3 2

∴直线BE：y=-

1

2

x+

3

2

，联立抛物线的解析式后，得：

y=- 1 2 x+ 3 2 y=-x2+2x+3

，解得

x1=3 y1=0

（舍）、

x2=- 1 2 y2= 7 4

∴P₂（-

1

2

，

7

4

）；
综上，存在符合条件的点P，且坐标为（1，4）、（-

1

2

，

7

4

）．

（3）易知点K（2，3）；
由题意，A、F都在x轴上，根据平行四边形的特点不难看出点G的纵坐标为3或-3；
当y_G=3时，-x²+2x+3=3，解得 x=0或2，
∴G点坐标为（0，3），
此时点F的坐标为（-1-2，0）或（-1+2，0），即（-3，0）、（1，0）；
当y_G=-3时，-x²+2x+3=-3，解得 x=1±

7

，
∴G点坐标为（1+

7

，-3）或（1-

7

，-3），
此时点F的坐标为（4+

7

，0）、（4-

7

，0）；
综上，有四个符合条件的点F，且坐标为（-3，0）、（1，0）、（4+

7

，0）、（4-

7

，0）．
解：（1）抛物线的对称轴：x=-

b

2a

=-

-2a

2a

=1，且AB=4，则 A（-1，0）、B（3，0）；
再代入点（2，3）后，可得：

a+2a+c=0 4a-4a+c=3

，解得

a=-1 c=3

∴二次函数的表达式：y=-x²+2x+3．

（2）由（1）知：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，则 D（1，4）；
BC²=18、CD²=2、BD²=20，∴BC²+CD²=BD²，即△BCD是直角三角形，且DC⊥BC．
∴∠BDC+∠DBC=90°，即点D符合点P的要求，P₁（1，4）．
延长DC至E，使得DC=CE，则△BDE是等腰三角形，且∠DBC=∠EBC，则直线BE与抛物线的交点也符合点P的要求（B点除外）
通过图示，不难看出 点D、E关于点C对称，则 E（-1，2），设直线BE：y=kx+b，则有：

3k+b=0 -k+b=2

，解得

k=- 1 2 b= 3 2

∴直线BE：y=-

1

2

x+

3

2

，联立抛物线的解析式后，得：

y=- 1 2 x+ 3 2 y=-x2+2x+3

，解得

x1=3 y1=0

（舍）、

x2=- 1 2 y2= 7 4

∴P₂（-

1

2

，

7

4

）；
综上，存在符合条件的点P，且坐标为（1，4）、（-

1

2

，

7

4

）．

（3）易知点K（2，3）；
由题意，A、F都在x轴上，根据平行四边形的特点不难看出点G的纵坐标为3或-3；
当y_G=3时，-x²+2x+3=3，解得 x=0或2，
∴G点坐标为（0，3），
此时点F的坐标为（-1-2，0）或（-1+2，0），即（-3，0）、（1，0）；
当y_G=-3时，-x²+2x+3=-3，解得 x=1±

7

，
∴G点坐标为（1+

7

，-3）或（1-

7

，-3），
此时点F的坐标为（4+

7

，0）、（4-

7

，0）；
综上，有四个符合条件的点F，且坐标为（-3，0）、（1，0）、（4+

7

，0）、（4-

7

，0）．