试题

请先阅读下面的内容，再解答下列的题目．
若二次函数f（x）=-

1

2

x²-5x+

3

2

，则
f（-2）=-

1

2

×（-2）²-5×（-2）+

3

2

=-2+10+

3

2

=9

1

2

f（3）=-

1

2

×32-5×3+

3

2

=-18
题目：二次函数f（x）=x²+x-1，对所有非零实数a有f（a）+f（

2

a

）=0．
（1）求a的值；
（2）已知关于x的方程

x+k

-

2x-4

=a，有一个增根4，求k的值．

解：（1）根据题意知，f（a）+f（

2

a

）=a²+a-1+（

2

a

）²+

2

a

-1=0，即（a+

2

a

-2）（a+

2

a

+3）=0，
所以，a+

2

a

=2，或a+

2

a

=-3．
解得，a₁=-1，a₂=-2；

（2）①当a=-1时，

x+k

-

2x-4

=-1．
两边平方，得
x+k-2

x+k

·

2x-4

+2x-4=1，
移项，得
2

x+k

·

2x-4

=3x+k-5，
两边平方，得
4（x+k）（2x-4）=（3x+k-5）²，
∵关于x的方程

x+k

-

2x-4

=a，有一个增根4，
∴4（4+k）（2×4-4）=（3×4+k-5）²，即（k+3）（k-5）=0，
解得，k=-3或k=5．
当k=-3，x=4时，原方程成立，即x=4是原方程的根，所以k=-3不符合题意；
当k=5，x=4时，原方程不成立，即x=4是原方程的增根，所以k=5符合题意；
②当a=-1时，

x+k

-

2x-4

=-1．
两边平方，得
x+k-2

x+k

·

2x-4

+2x-4=4，
移项，得
2

x+k

·

2x-4

=3x+k-8，
两边平方，得
4（x+k）（2x-4）=（3x+k-8）²，
∵关于x的方程

x+k

-

2x-4

=a，有一个增根4，
∴4（4+k）（2×4-4）=（3×4+k-8）²，即16（k+4）=k+4，
显然，此时的等式不成立．
综上所述，k的值是5．
解：（1）根据题意知，f（a）+f（

2

a

）=a²+a-1+（

2

a

）²+

2

a

-1=0，即（a+

2

a

-2）（a+

2

a

+3）=0，
所以，a+

2

a

=2，或a+

2

a

=-3．
解得，a₁=-1，a₂=-2；

（2）①当a=-1时，

x+k

-

2x-4

=-1．
两边平方，得
x+k-2

x+k

·

2x-4

+2x-4=1，
移项，得
2

x+k

·

2x-4

=3x+k-5，
两边平方，得
4（x+k）（2x-4）=（3x+k-5）²，
∵关于x的方程

x+k

-

2x-4

=a，有一个增根4，
∴4（4+k）（2×4-4）=（3×4+k-5）²，即（k+3）（k-5）=0，
解得，k=-3或k=5．
当k=-3，x=4时，原方程成立，即x=4是原方程的根，所以k=-3不符合题意；
当k=5，x=4时，原方程不成立，即x=4是原方程的增根，所以k=5符合题意；
②当a=-1时，

x+k

-

2x-4

=-1．
两边平方，得
x+k-2

x+k

·

2x-4

+2x-4=4，
移项，得
2

x+k

·

2x-4

=3x+k-8，
两边平方，得
4（x+k）（2x-4）=（3x+k-8）²，
∵关于x的方程

x+k

-

2x-4

=a，有一个增根4，
∴4（4+k）（2×4-4）=（3×4+k-8）²，即16（k+4）=k+4，
显然，此时的等式不成立．
综上所述，k的值是5．