试题

如图，已知直线y=2x+2与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax²-2ax+c过点C且与直线y=2x+2交于点A（5，12）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）D为x轴上方抛物线上一点，若△DCO与△DBO的面积相等，求D点的坐标；
（3）在线段AB上是否存在点P，过P作x轴的垂线交抛物线于E点，使得以P、B、E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由直线y=2x+2知：点C（-1，0）、B（0，2）；
抛物线y=ax²-2ax+c过点C（-1，0）、A（5，12），有：

a+2a+c=0 25a-10a+c=12

，解得

a=1 c=-3

∴抛物线的解析式：y=x²-2x-3．

（2）由（1）知：OB=2、OC=1；
由题意知：S_△DBO=S_△DCO，则：

1

2

×BO×|x_D|=

1

2

×CO×|y_D|，即：|y_D|=2|x_D|
∴可以设点D的坐标为：（x，2x）或（x，-2x）（x＜-1或x＞3），代入抛物线的解析式中，有：
当点D坐标为（x，2x）时，有：x²-2x-3=2x；解得：x₁=2-

7

（舍），x₂=2+

7

；
当点D坐标为（x，-2x）时，有：x²-2x-3=-2x；解得：x₃=

3

（舍），x₄=-

3

；
∴点D的坐标为：（2+

7

，4+2

7

）或（-

3

，2

3

）．

（3）∵PE⊥x轴，且BO⊥CO，
∴PE∥BO，即∠CBO=∠BPE；
若以P、B、E为顶点的三角形与△BOC相似，那么：
①PB⊥BE，如图①；
由于直线BE与直线AC垂直，且过点B（0，2），所以：
直线BE：y=-

1

2

x+2；
联立抛物线的解析式，有：
-

1

2

x+2=x²-2x-3，解得：x₁=

3+ 89

4

、x₂=

3- 89

4

（舍）；
将点P横坐标代入直线AC：y=2x+2中，得：y=

7+ 89

2

；
∴P₁（

3+ 89

4

，

7+ 89

2

）．
②PE⊥BE，如图②；
∵PE∥y轴，且PE⊥BE，
∴BE∥x轴，即 点B、E的纵坐标相同；
令x²-2x-3=2，解得：x₁=1-

6

（舍）、x₂=1+

6

；
将点P横坐标代入直线AC：y=2x+2中，得：y=4+2

6

；
∴P₂（1+

6

，4+2

6

）．
综上，存在符合条件的点P，且坐标为（

3+ 89

4

，

7+ 89

2

）或（1+

6

，4+2

6

）．
解：（1）由直线y=2x+2知：点C（-1，0）、B（0，2）；
抛物线y=ax²-2ax+c过点C（-1，0）、A（5，12），有：

a+2a+c=0 25a-10a+c=12

，解得

a=1 c=-3

∴抛物线的解析式：y=x²-2x-3．

（2）由（1）知：OB=2、OC=1；
由题意知：S_△DBO=S_△DCO，则：

1

2

×BO×|x_D|=

1

2

×CO×|y_D|，即：|y_D|=2|x_D|
∴可以设点D的坐标为：（x，2x）或（x，-2x）（x＜-1或x＞3），代入抛物线的解析式中，有：
当点D坐标为（x，2x）时，有：x²-2x-3=2x；解得：x₁=2-

7

（舍），x₂=2+

7

；
当点D坐标为（x，-2x）时，有：x²-2x-3=-2x；解得：x₃=

3

（舍），x₄=-

3

；
∴点D的坐标为：（2+

7

，4+2

7

）或（-

3

，2

3

）．

（3）∵PE⊥x轴，且BO⊥CO，
∴PE∥BO，即∠CBO=∠BPE；
若以P、B、E为顶点的三角形与△BOC相似，那么：
①PB⊥BE，如图①；
由于直线BE与直线AC垂直，且过点B（0，2），所以：
直线BE：y=-

1

2

x+2；
联立抛物线的解析式，有：
-

1

2

x+2=x²-2x-3，解得：x₁=

3+ 89

4

、x₂=

3- 89

4

（舍）；
将点P横坐标代入直线AC：y=2x+2中，得：y=

7+ 89

2

；
∴P₁（

3+ 89

4

，

7+ 89

2

）．
②PE⊥BE，如图②；
∵PE∥y轴，且PE⊥BE，
∴BE∥x轴，即 点B、E的纵坐标相同；
令x²-2x-3=2，解得：x₁=1-

6

（舍）、x₂=1+

6

；
将点P横坐标代入直线AC：y=2x+2中，得：y=4+2

6

；
∴P₂（1+

6

，4+2

6

）．
综上，存在符合条件的点P，且坐标为（

3+ 89

4

，

7+ 89

2

）或（1+

6

，4+2

6

）．