试题

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+2的图象与y轴交于点A，对称轴是直线x=

3

3

，以OA为边在y轴右侧作等边三角形OAB，点B恰好在该抛物线上． 动点P在x轴上，以PA为边作等边三角形APQ（△APQ的顶点 A、P、Q按逆时针标记）．
（1）求点B的坐标与抛物线的解析式；
（2）当点P在如图位置时，求证：△APO≌△AQB；
（3）当点P在x轴上运动时，点Q刚好在抛物线上，求点Q的坐标；
（4）探究：是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）过点B作BE⊥x轴与点E，

∵二次函数解析式c=2，
∴OA=OB=AB=2，
又∠BOE=90°-∠AOB=30°，
∴BE=1，OE=

3

，
∴点B的坐标为（

3

，1）．
将点B坐标代入可得：3a+

3

b+2=1①，
对称轴=-

b

2a

=

3

3

②
联立①②可得a=-1．b=

2 3

3

，
故可得函数解析式为：y=-x²+

2 3

3

x+2．

（2）由题意得，AB=AO、AP=AQ，
又∵∠PAQ+∠QOA=∠BAO+∠QAO，
∴∠PAO=∠QAB，
故可得：△APO≌△AQB（SAS）．

（3）①当Q在第三象限的抛物线上，设BQ与y轴交点为F，

由（2）可得∠ABQ=90°，
又∵∠BAO=60°，
∴∠QBO=30°，
∴AFB=∠AOB-∠QBO=30°，
∴AF=2AB=4，OF=2，即F（0，-2）
把F（0，-2），B（

3

，1）代入y=kx+b得k=

3

，b=-2，
∴直线BQ解析式为：y=

3

x-2，
解方程组：

y= 3 x-2 y=-x2+ 2 3 3 x+2

，
解得：

x1=- 4 3 3 y1=-6

，

x2= 3 y2=1

（舍去）
故可得点Q的坐标为（-

4 3

3

，-6）；
②当Q与B重合时，Q的坐标为（

3

，1）
∴满足条件的点Q坐标为：（-

4 3

3

，-6）、（

3

，1）．

（4）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行．
①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，

设点P的坐标为x，
∵∠OBQ₁=30°（第三问已做说明），OB=2，
∴OQ₁=1，
∴点Q的坐标为（

3

2

，-

1

2

），
∴AQ₁=

(0- 3 2 )2+(2+ 1 2 )2

=AP=

(0-x)2+(2-0)2

，
解得：x=-

3

或

3

（舍去）；
②当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方此时，若AQ∥OB，四边形AOQB即是梯形，

∵∠APO=30°，AO=2，
∴OP=2

3

，即点P的坐标为（2

3

，0）．
综上可得P的坐标为（-

3

，0）或（2

3

，0）
解：（1）过点B作BE⊥x轴与点E，

∵二次函数解析式c=2，
∴OA=OB=AB=2，
又∠BOE=90°-∠AOB=30°，
∴BE=1，OE=

3

，
∴点B的坐标为（

3

，1）．
将点B坐标代入可得：3a+

3

b+2=1①，
对称轴=-

b

2a

=

3

3

②
联立①②可得a=-1．b=

2 3

3

，
故可得函数解析式为：y=-x²+

2 3

3

x+2．

（2）由题意得，AB=AO、AP=AQ，
又∵∠PAQ+∠QOA=∠BAO+∠QAO，
∴∠PAO=∠QAB，
故可得：△APO≌△AQB（SAS）．

（3）①当Q在第三象限的抛物线上，设BQ与y轴交点为F，

由（2）可得∠ABQ=90°，
又∵∠BAO=60°，
∴∠QBO=30°，
∴AFB=∠AOB-∠QBO=30°，
∴AF=2AB=4，OF=2，即F（0，-2）
把F（0，-2），B（

3

，1）代入y=kx+b得k=

3

，b=-2，
∴直线BQ解析式为：y=

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x-2，
解方程组：

y= 3 x-2 y=-x2+ 2 3 3 x+2

，
解得：

x1=- 4 3 3 y1=-6

，

x2= 3 y2=1

（舍去）
故可得点Q的坐标为（-

4 3

3

，-6）；
②当Q与B重合时，Q的坐标为（

3

，1）
∴满足条件的点Q坐标为：（-

4 3

3

，-6）、（

3

，1）．

（4）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行．
①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，

设点P的坐标为x，
∵∠OBQ₁=30°（第三问已做说明），OB=2，
∴OQ₁=1，
∴点Q的坐标为（

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2

，-

1

2

），
∴AQ₁=

(0- 3 2 )2+(2+ 1 2 )2

=AP=

(0-x)2+(2-0)2

，
解得：x=-

3

或

3

（舍去）；
②当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方此时，若AQ∥OB，四边形AOQB即是梯形，

∵∠APO=30°，AO=2，
∴OP=2

3

，即点P的坐标为（2

3

，0）．
综上可得P的坐标为（-

3

，0）或（2

3

，0）