试题

如图，抛物线y=ax²+bx+1与x轴交于两点A（-1，0），B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积．

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+1与x轴交于两点A（-1，0），B（1，0），
∴

a-b+1=0 a+b+1=0

，解得

a=-1 b=0

，
∴此抛物线的解析式为：y=-x²+1；

（2）∵由（1）知抛物线的解析式为：y=-x²+1，
∴C（0，1），
∵A（-1，0），B（1，0），∠BOC=90°，
∴OB=OB=OC=

2

，
∴∠OCB=∠OCA=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BD∥CA，
∴四边形ACBD是直角梯形，
设过A、C两点的直线解析式为y=kx+b，
∵A（-1，0），C（0，1），
∴

-k+b=0 b=1

，解得

k=1 b=1

，
∴直线AC的解析式为y=x+1，
∵BD∥CA，B（1，0），
∴把直线AC向右平移2个单位即可得到直线BD，
∴直线BD的解析式为：y=x-1，
∴

y=x-1 y=-x2+1

，解得

x=1 y=0

或

x=-2 y=-3

，
∴D（-2，-3），
∴BD=

(1+2)2+(-3)2

=3

2

，
∴S_{四边形ACBD}=

1

2

（AC+BD）·BC=

1

2

×（

2

+3

2

）×

2

=4．
答：四边形ACBD的面积为4．
解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+1与x轴交于两点A（-1，0），B（1，0），
∴

a-b+1=0 a+b+1=0

，解得

a=-1 b=0

，
∴此抛物线的解析式为：y=-x²+1；

（2）∵由（1）知抛物线的解析式为：y=-x²+1，
∴C（0，1），
∵A（-1，0），B（1，0），∠BOC=90°，
∴OB=OB=OC=

2

，
∴∠OCB=∠OCA=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BD∥CA，
∴四边形ACBD是直角梯形，
设过A、C两点的直线解析式为y=kx+b，
∵A（-1，0），C（0，1），
∴

-k+b=0 b=1

，解得

k=1 b=1

，
∴直线AC的解析式为y=x+1，
∵BD∥CA，B（1，0），
∴把直线AC向右平移2个单位即可得到直线BD，
∴直线BD的解析式为：y=x-1，
∴

y=x-1 y=-x2+1

，解得

x=1 y=0

或

x=-2 y=-3

，
∴D（-2，-3），
∴BD=

(1+2)2+(-3)2

=3

2

，
∴S_{四边形ACBD}=

1

2

（AC+BD）·BC=

1

2

×（

2

+3

2

）×

2

=4．
答：四边形ACBD的面积为4．