试题

如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=

3

4

，抛物线y=ax²+bx经过点A（4，0）与点（-2，6）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）直线m与⊙C相切于点A，交y轴于点D．求证：AD∥OB；
（3）动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒一个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值．

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx经过点A（4，0）与点（-2，6），
∴

16a+4b=0 4a-2b=6

，
解得

a= 1 2 b=-2

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-2x；

（2）如图，连接AC交OB于点E，连接OC、OB，
∵OC=OB，AB=AO，
∴AC⊥OB，
∵AD为切线，
∴AC⊥AD，
∴AD∥OB；

（3）∵tan∠AOB=

3

4

，
∴sin∠AOB=

3

5

，
∴AE=OA·sin∠AOB=4×

3

5

=2.4，
∵AD∥OB，
∴∠OAD=∠AOB，
∴OD=OA·tan∠OAD=OA·tan∠AOB=4×

3

4

=3，
当PQ⊥AD时，OP=t，DQ=2t，
过O点作OF⊥AD于F，
在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t，
由勾股定理得：DF=

OD2-OF2

=

32-2.42

=1.8，
∴t=1.8秒．
解：（1）∵抛物线y=ax²+bx经过点A（4，0）与点（-2，6），
∴

16a+4b=0 4a-2b=6

，
解得

a= 1 2 b=-2

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-2x；

（2）如图，连接AC交OB于点E，连接OC、OB，
∵OC=OB，AB=AO，
∴AC⊥OB，
∵AD为切线，
∴AC⊥AD，
∴AD∥OB；

（3）∵tan∠AOB=

3

4

，
∴sin∠AOB=

3

5

，
∴AE=OA·sin∠AOB=4×

3

5

=2.4，
∵AD∥OB，
∴∠OAD=∠AOB，
∴OD=OA·tan∠OAD=OA·tan∠AOB=4×

3

4

=3，
当PQ⊥AD时，OP=t，DQ=2t，
过O点作OF⊥AD于F，
在Rt△ODF中，OD=3，OF=AE=2.4，DF=DQ-FQ=DQ-OP=2t-t=t，
由勾股定理得：DF=

OD2-OF2

=

32-2.42

=1.8，
∴t=1.8秒．