试题

如图，二次函数y=-

1

2

x2+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动．设PQ交直线AC于点G．
（1）求直线AC的解析式；
（2）连接PC，设△PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；
（3）在y轴上找一点M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形，直接写出所有满足条件的M点的坐标．

解：（1）令y=0，则-

1

2

x²+2=0，
解得x₁=-2，x₂=2，
所以，点A（-2，0），B（2，0），
令x=0，则y=2，
所以，点C的坐标是（0，2），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则

-2k+b=0 b=2

，
解得

k=1 b=2

，
所以，直线AC的解析式为y=x+2；

（2）①点P在OA上，即0＜t＜2时，
∵点P、Q的速度都是每秒1个单位，
∴OP=2-t，OQ=t，
∴△PQC的面积S=

1

2

t（2-t）=-

1

2

t²+t，
②点P在OB上，即2＜t≤4时，
∵点P、Q的速度都是每秒1个单位，
∴OP=t-2，OQ=t，
∴△PQC的面积S=

1

2

t（t-2）=

1

2

t²-t，
∴S=

- 1 2 t2+t(0＜t＜2) 1 2 t2-t(2＜t≤4)

；

（3）∵A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
∴OA=OB=OC=2，
根据勾股定理，AC=

OA2+OC2

=

22+22

=2

2

，
如图，①点M为坐标原点（0，0）时，AC、BC为底边，
②AC、BC为底边时，若OM=OC=2，则点M（0，-2），
若CM=AC=2

2

，则OM=CM-OC=2

2

-2，
此时点M（0，2-2

2

），
或OM=CM+OC=2

2

+2，
此时点M（0，2+2

2

），
所以，点M的坐标为（0，0）或（0，-2）或（0，2-2

2

）或（0，2+2

2

）．
解：（1）令y=0，则-

1

2

x²+2=0，
解得x₁=-2，x₂=2，
所以，点A（-2，0），B（2，0），
令x=0，则y=2，
所以，点C的坐标是（0，2），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则

-2k+b=0 b=2

，
解得

k=1 b=2

，
所以，直线AC的解析式为y=x+2；

（2）①点P在OA上，即0＜t＜2时，
∵点P、Q的速度都是每秒1个单位，
∴OP=2-t，OQ=t，
∴△PQC的面积S=

1

2

t（2-t）=-

1

2

t²+t，
②点P在OB上，即2＜t≤4时，
∵点P、Q的速度都是每秒1个单位，
∴OP=t-2，OQ=t，
∴△PQC的面积S=

1

2

t（t-2）=

1

2

t²-t，
∴S=

- 1 2 t2+t(0＜t＜2) 1 2 t2-t(2＜t≤4)

；

（3）∵A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
∴OA=OB=OC=2，
根据勾股定理，AC=

OA2+OC2

=

22+22

=2

2

，
如图，①点M为坐标原点（0，0）时，AC、BC为底边，
②AC、BC为底边时，若OM=OC=2，则点M（0，-2），
若CM=AC=2

2

，则OM=CM-OC=2

2

-2，
此时点M（0，2-2

2

），
或OM=CM+OC=2

2

+2，
此时点M（0，2+2

2

），
所以，点M的坐标为（0，0）或（0，-2）或（0，2-2

2

）或（0，2+2

2

）．