试题

题目：
青果学院如图，一条抛物线y=ax2+bx（a≠0）的顶点坐标为（2，
8
3
），正方形ABCD的边AB落在x轴的正半轴上，顶点C、D在这条抛物线上．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求正方形ABCD的边长．
答案
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）的顶点坐标为（2，
8
3
），
∴设顶点式形式为y=a（x-2）2+
8
3
，
则a（0-2）2+
8
3
=0，
解得a=-
2
3
，
所以，y=-
2
3
（x-2）2+
8
3
=-
2
3
x2+
8
3
x，
故抛物线解析式为y=-
2
3
x2+
8
3
x；

（2）设正方形ABCD的边长为2m，
∵抛物线对称轴为直线x=2，AB落在x轴的正半轴上，顶点C、D在这条抛物线上，
∴点C的坐标为（2+m，2m），
∴-
2
3
（2+m）2+
8
3
（2+m）=2m，
整理得，m2+3m-4=0，
解得m1=1，m2=-4（舍去）．
所以正方形ABCD的边长为2m=2×1=2．
解：（1）∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）的顶点坐标为（2，
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），
∴设顶点式形式为y=a（x-2）2+
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，
则a（0-2）2+
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=0，
解得a=-
2
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，
所以，y=-
2
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（x-2）2+
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=-
2
3
x2+
8
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x，
故抛物线解析式为y=-
2
3
x2+
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x；

（2）设正方形ABCD的边长为2m，
∵抛物线对称轴为直线x=2，AB落在x轴的正半轴上，顶点C、D在这条抛物线上，
∴点C的坐标为（2+m，2m），
∴-
2
3
（2+m）2+
8
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（2+m）=2m，
整理得，m2+3m-4=0，
解得m1=1，m2=-4（舍去）．
所以正方形ABCD的边长为2m=2×1=2．
考点梳理
二次函数综合题．
（1）设抛物线顶点式解析式y=a（x-2）2+
8
3
，然后把原点坐标代入计算求出a的值即可得解；
（2）设正方形的边长为2m，根据抛物线的对称性求出点C的坐标，然后代入抛物线解析式计算求出m的值，即可得解．
本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质，抛物线的对称性，（1）利用抛物线的顶点式解析式求解更加简便．
探究型．
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