试题

如图，二次函数y=a（x²-3x-4）（其中a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠BAC=2．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若以AC、BC为邻边作·ACBD，则D点关于x的对称点D′是否在该函数的图象上，为什么？
（3）在（2）的条件下过D′的直线将·ACBD的面积二等分，求这条直线的表达式．

解：（1）△ABC是直角三角形．
理由如下：令y=0，则a（x²-3x-4）=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
所以，点A（-1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
∵tan∠BAC=2，
∴

OC

OA

=2，
即

OC

1

=2，
解得OC=2，
∵

OA

OC

=

1

2

，

OC

OB

=

2

4

=

1

2

，
∴

OA

OC

=

OC

OB

，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；

（2）由（1）可知OC=2，
所以，点C（0，-2），
把点C坐标代入y=a（x²-3x-4）得，-4a=-2，解得a=

1

2

，
所以，二次函数解析式为y=

1

2

（x²-3x-4），
∵·ACBD以AC、BC为邻边，
∴AB、CD互相平分，
∵点A（-1，0），B（4，0），

1

2

（-1+4）=1.5，
∴AB的中点坐标为（1.5，0），
∴点D的坐标为（3，2），
∵点D′与点D关于x轴对称，
∴点D′（3，-2），
当x=3时，y=

1

2

（3²-3×3-4）=-2，
所以，点D′在该函数的图象；

（3）∵过平行四边形中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，
∴所求直线过点（1.5，0），（3，-2），
设直线解析式为y=kx+b，
则

1.5k+b=0 3k+b=-2

，
解得

k=- 4 3 b=2

，
所以，直线解析式为y=-

4

3

x+2．
解：（1）△ABC是直角三角形．
理由如下：令y=0，则a（x²-3x-4）=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
所以，点A（-1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
∵tan∠BAC=2，
∴

OC

OA

=2，
即

OC

1

=2，
解得OC=2，
∵

OA

OC

=

1

2

，

OC

OB

=

2

4

=

1

2

，
∴

OA

OC

=

OC

OB

，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；

（2）由（1）可知OC=2，
所以，点C（0，-2），
把点C坐标代入y=a（x²-3x-4）得，-4a=-2，解得a=

1

2

，
所以，二次函数解析式为y=

1

2

（x²-3x-4），
∵·ACBD以AC、BC为邻边，
∴AB、CD互相平分，
∵点A（-1，0），B（4，0），

1

2

（-1+4）=1.5，
∴AB的中点坐标为（1.5，0），
∴点D的坐标为（3，2），
∵点D′与点D关于x轴对称，
∴点D′（3，-2），
当x=3时，y=

1

2

（3²-3×3-4）=-2，
所以，点D′在该函数的图象；

（3）∵过平行四边形中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，
∴所求直线过点（1.5，0），（3，-2），
设直线解析式为y=kx+b，
则

1.5k+b=0 3k+b=-2

，
解得

k=- 4 3 b=2

，
所以，直线解析式为y=-

4

3

x+2．