试题

如果一条抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a，b，c]称为“抛物线三角形系数”．
（1）若抛物线三角形系数为[-1，b，0]的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（2）若△OAB是“抛物线三角形”，其中点B为顶点，抛物线三角形系数为[-2，2m，0]，其中m＞0；且四边形ABCD是以原点O为对称中心的矩形，求出过O、C、D三个点的抛物线的表达式．

解：（1）∵抛物线三角形系数为[-1，b，0]，
∴抛物线解析式为y=-x²+bx=-（x-

b

2

）²+

b2

4

，
∴顶点坐标为（

b

2

，

b2

4

），
令y=0，则-x²+bx=0，
解得x₁=0，x₂=b，
∴与x轴的交点为（0，0），（b，0），
∵“抛物线三角形”是等腰直角三角形，
∴

b2

4

=

1

2

|b|，
∴b²=2b或b²=-2b，
∵b=0时，抛物线与x轴只有一个交点（0，0），
∴b=0不符合题意，
∴b=2或b=-2，
故b的值为2或-2；

（2）如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
由抛物线的对称性，OB=AB，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∵抛物线三角形系数为[-2，2m，0]，
∴抛物线解析式为y=-2x²+2mx=-2（x-

m

2

）²+

m2

2

，
∴顶点B的坐标为（

m

2

，

m2

2

），
令y=0，则-2x²+2mx=0，
解得x₁=0，x₂=m，
∴与x轴的交点为（0，0），（m，0），
∴AO=m，
∴

m2

2

=

3

2

m，
解得m=

3

，
∴点A（

3

，0），B（

3

2

，

3

2

），
∵四边形ABCD是以原点O为对称中心的矩形，
∴点C（-

3

，0），D（-

3

2

，-

3

2

），
设过O、C、D三个点的抛物线为y=ax²+bx（a≠0），
则

3a- 3 b=0 3 4 a- 3 2 b=- 3 2

，
解得

a=2 b=2 3

，
所以，过O、C、D三个点的抛物线为y=2x²+2

3

x．
解：（1）∵抛物线三角形系数为[-1，b，0]，
∴抛物线解析式为y=-x²+bx=-（x-

b

2

）²+

b2

4

，
∴顶点坐标为（

b

2

，

b2

4

），
令y=0，则-x²+bx=0，
解得x₁=0，x₂=b，
∴与x轴的交点为（0，0），（b，0），
∵“抛物线三角形”是等腰直角三角形，
∴

b2

4

=

1

2

|b|，
∴b²=2b或b²=-2b，
∵b=0时，抛物线与x轴只有一个交点（0，0），
∴b=0不符合题意，
∴b=2或b=-2，
故b的值为2或-2；

（2）如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
由抛物线的对称性，OB=AB，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∵抛物线三角形系数为[-2，2m，0]，
∴抛物线解析式为y=-2x²+2mx=-2（x-

m

2

）²+

m2

2

，
∴顶点B的坐标为（

m

2

，

m2

2

），
令y=0，则-2x²+2mx=0，
解得x₁=0，x₂=m，
∴与x轴的交点为（0，0），（m，0），
∴AO=m，
∴

m2

2

=

3

2

m，
解得m=

3

，
∴点A（

3

，0），B（

3

2

，

3

2

），
∵四边形ABCD是以原点O为对称中心的矩形，
∴点C（-

3

，0），D（-

3

2

，-

3

2

），
设过O、C、D三个点的抛物线为y=ax²+bx（a≠0），
则

3a- 3 b=0 3 4 a- 3 2 b=- 3 2

，
解得

a=2 b=2 3

，
所以，过O、C、D三个点的抛物线为y=2x²+2

3

x．