试题

（2009·甘孜州）如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，-2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若D点在此抛物线上，且AD∥CB，在x轴上是否存在点E，使得以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，问在x轴下方的抛物线上，是否存在点P使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，-2），
∴

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=-2

，
解得：

a= 1 2 b=- 3 2 c=-2

，
∴抛物线的解析式为y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）设D点坐标为（x，y），E点坐标为（a，0）
∵AD∥CB，
∴两直线的斜率相等，
∴k_AD=k_BC，
∴

y+1

x

=

0-(-2)

4-0

=

1

2

，
∴y+1=

1

2

x，
又∵点D在抛物线上，
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
联立两式解得D点的坐标为（5，3），
连接AC，AC=

5

，BC=2

5

，AB=5，
∵AC²+BC²=AB²，
∴△ACB是直角三角形，
①若Rt△ACB∽RtEDA，如图1所示，
∵AD∥AC，
∴∠DAB=∠ABC，
∵Rt△ACB∽RtEDA，
∴

AC

DE

=

AB

AD

=

BC

AE

，
∴

5

3

=

5

3 5

=

2 5

a+1

，
当a=5时，等式成立，
∴当E点坐标为（5，0）时，Rt△ACB∽RtAED；
②若Rt△ACB∽RtADE，如图2所示，
同理可知

AB

AE

=

AC

AD

，即

2 5

3 5

=

5

a+1

，
解得a=

13

2

，
∴AE=

15

2

，根据勾股定理求出DE=

3 5

2

，
检验：

AC

DE

=

AB

AE

=

2

3

，
∴存在E点坐标（

13

2

，0）使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，
综上这样的点有两个，分别是（5，0），（

13

2

，0）；

（3）由（1）（2）可知：AB=5，D点坐标为（5，3），C点坐标为（0，-2），
假设存在P点（x，y）使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等，
S_{四边形ACBD}=S_△ABD+S_△ACB=

1

2

×5×3+

1

2

×5×2=

25

2

，
S_△APD=

1

2

×AD×h=

25

2

，解得h=

5 5

3

，
∴P到直线AD的距离为

5 5

3

，
直线AD的解析式为y=

1

2

x+

1

2

，
P点到直线AD的距离d=

|x-2y+1|

5

=

5 5

3

，
又知y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
解得x=

6±2 39

3

∴这样的P点存在，坐标为（

6+2 39

3

，

51-3 39

9

）、（

6-2 39

3

，

51-21 39

9

）．
解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，-2），
∴

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=-2

，
解得：

a= 1 2 b=- 3 2 c=-2

，
∴抛物线的解析式为y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）设D点坐标为（x，y），E点坐标为（a，0）
∵AD∥CB，
∴两直线的斜率相等，
∴k_AD=k_BC，
∴

y+1

x

=

0-(-2)

4-0

=

1

2

，
∴y+1=

1

2

x，
又∵点D在抛物线上，
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
联立两式解得D点的坐标为（5，3），
连接AC，AC=

5

，BC=2

5

，AB=5，
∵AC²+BC²=AB²，
∴△ACB是直角三角形，
①若Rt△ACB∽RtEDA，如图1所示，
∵AD∥AC，
∴∠DAB=∠ABC，
∵Rt△ACB∽RtEDA，
∴

AC

DE

=

AB

AD

=

BC

AE

，
∴

5

3

=

5

3 5

=

2 5

a+1

，
当a=5时，等式成立，
∴当E点坐标为（5，0）时，Rt△ACB∽RtAED；
②若Rt△ACB∽RtADE，如图2所示，
同理可知

AB

AE

=

AC

AD

，即

2 5

3 5

=

5

a+1

，
解得a=

13

2

，
∴AE=

15

2

，根据勾股定理求出DE=

3 5

2

，
检验：

AC

DE

=

AB

AE

=

2

3

，
∴存在E点坐标（

13

2

，0）使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，
综上这样的点有两个，分别是（5，0），（

13

2

，0）；

（3）由（1）（2）可知：AB=5，D点坐标为（5，3），C点坐标为（0，-2），
假设存在P点（x，y）使得△APD的面积与四边形ACBD的面积相等，
S_{四边形ACBD}=S_△ABD+S_△ACB=

1

2

×5×3+

1

2

×5×2=

25

2

，
S_△APD=

1

2

×AD×h=

25

2

，解得h=

5 5

3

，
∴P到直线AD的距离为

5 5

3

，
直线AD的解析式为y=

1

2

x+

1

2

，
P点到直线AD的距离d=

|x-2y+1|

5

=

5 5

3

，
又知y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
解得x=

6±2 39

3

∴这样的P点存在，坐标为（

6+2 39

3

，

51-3 39

9

）、（

6-2 39

3

，

51-21 39

9

）．