试题

（2008·湘潭）已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若过点B的直线y=kx+b与抛物线交于点C（2，m），请求出△OBC的面积S的值；
（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC于点E．直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED，是否存在点P，使得△OCD与△CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由题意得：

25a+5b+c=0 36a+6b+c=-6 c=0

，（2分）
解得

a=-1 b=5 c=0

．
故抛物线的函数关系式为y=-x²+5x；

（2）因为C在抛物线上，
所以-2²+5×2=m，所以m=6（5分）
所以C点坐标为（2，6）
因为B，C在直线y=kx+b′上，
所以

6=2k+b′ -6=6k+b′

．
解得k=-3，b′=12
直线BC的解析式为y=-3x+12
设BC与x轴交于点G，则G的坐标为（4，0）
所以S_△OBC=

1

2

×4×6+

1

2

×4×|-6|=24

（3）存在P，使得△OCD∽△CPE设P（m，n），
∵∠ODC=∠E=90°
故CE=m-2，EP=6-n
若要△OCD∽△CPE，则要

OD

CE

=

DC

EP

或

OD

EP

=

DC

CE

即

6

m-2

=

2

6-n

或

6

6-n

=

2

m-2

解得m=20-3n或n=12-3m
又因为（m，n）在抛物线上，

m=20-3n n=-m2+5m

．
或

n=12-3m n=-m2+5m

．
解得

m1= 10 3 n1= 50 9

，即

m2=2 n2=6

，
或

m1=2 n1=6

，即

m2=6 n2=-6

，
故P点坐标为（

10

3

，

50

9

）和（6，-6）．
解：（1）由题意得：

25a+5b+c=0 36a+6b+c=-6 c=0

，（2分）
解得

a=-1 b=5 c=0

．
故抛物线的函数关系式为y=-x²+5x；

（2）因为C在抛物线上，
所以-2²+5×2=m，所以m=6（5分）
所以C点坐标为（2，6）
因为B，C在直线y=kx+b′上，
所以

6=2k+b′ -6=6k+b′

．
解得k=-3，b′=12
直线BC的解析式为y=-3x+12
设BC与x轴交于点G，则G的坐标为（4，0）
所以S_△OBC=

1

2

×4×6+

1

2

×4×|-6|=24

（3）存在P，使得△OCD∽△CPE设P（m，n），
∵∠ODC=∠E=90°
故CE=m-2，EP=6-n
若要△OCD∽△CPE，则要

OD

CE

=

DC

EP

或

OD

EP

=

DC

CE

即

6

m-2

=

2

6-n

或

6

6-n

=

2

m-2

解得m=20-3n或n=12-3m
又因为（m，n）在抛物线上，

m=20-3n n=-m2+5m

．
或

n=12-3m n=-m2+5m

．
解得

m1= 10 3 n1= 50 9

，即

m2=2 n2=6

，
或

m1=2 n1=6

，即

m2=6 n2=-6

，
故P点坐标为（

10

3

，

50

9

）和（6，-6）．