试题

（2008·乌鲁木齐）如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．
（1）求∠ACB的大小；
（2）写出A，B两点的坐标；
（3）试确定此抛物线的解析式；
（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）作CH⊥x轴，H为垂足，
∵CH=1，半径CB=2，
∵∠BCH=60°，
∴∠ACB=120°．

（2）∵CH=1，半径CB=2
∴HB=

3

，
故A（1-

3

，0），B（1+

3

，0）．

（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3）
设抛物线解析式y=a（x-1）²+3，
把点B（1+

3

，0）代入上式，解得a=-1；
∴y=-x²+2x+2．

（4）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形
∴PC∥OD且PC=OD．
∵PC∥y轴，
∴点D在y轴上．
又∵PC=2，
∴OD=2，即D（0，2）．
又D（0，2）满足y=-x²+2x+2，
∴点D在抛物线上
所以存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分．
解：（1）作CH⊥x轴，H为垂足，
∵CH=1，半径CB=2，
∵∠BCH=60°，
∴∠ACB=120°．

（2）∵CH=1，半径CB=2
∴HB=

3

，
故A（1-

3

，0），B（1+

3

，0）．

（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3）
设抛物线解析式y=a（x-1）²+3，
把点B（1+

3

，0）代入上式，解得a=-1；
∴y=-x²+2x+2．

（4）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形
∴PC∥OD且PC=OD．
∵PC∥y轴，
∴点D在y轴上．
又∵PC=2，
∴OD=2，即D（0，2）．
又D（0，2）满足y=-x²+2x+2，
∴点D在抛物线上
所以存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分．