试题

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，

3

），点B在x轴的负半轴上，且∠AB0=30°，抛物线经过A，O，B三点．
（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形，使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积之比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）如图，过点A作AF⊥x轴于点F，
在Rt△ABF中，∠AB0=30⁰，A的坐标为（1，

3

），
∴OF=1，AF=

3

，BF=3．
∴BO=BF-OF=2．  B（-2，O）．
设抛物线的解析式为y=ax（x+2）．将点A（l，

3

）代入，得a=

3

3

，
∴抛物线的解析式为y=

3

3

x²+

2 3

3

x，对称轴为直线x=-1，
（2）存在点C 设抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E．，
∵点B（一2，O）和点O（0，O）关于抛物线的对称轴对称，
∴当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△AOC的周长最小．
∵△BCE∽△BAF，
∴

BE

BF

=

CF

AF

，
∴CE=

BE·AF

BF

=

3

3

，
∴C点的坐标是（-1，

3

3

）；
（3）在x轴下方的抛物线上存在一点P，使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积之比为2：3，
理由如下：
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则

k+b= 3 -2k+b=0

，解得：

k= 3 3 b= 2 3 3

，
∴直线AB的解析式为y=

3

3

x+

2 3

3

，
如图连接AO，设P（m，n），
则D（m，

3

3

m+

2 3

3

），n=

3

3

m²+

2 3

3

m，
S_{四边形BPOD}=

1

2

BO·DP=

1

2

×2（

3

3

m+

2 3

3

-n）=-

3

3

m²-

3

3

m+

2 3

3

，
S_△BOD=

1

2

×2×（

3

3

m+

2 3

3

）=

3

3

m+

2 3

3

，
S_△AOD=S_△AOB-S_△BOD=

1

2

×2

3

-

3

3

m+

2 3

3

=-

3

3

m+

3

3

，
①要使三角形AOD面积与四边形BPOD面积之比为2：3则，
2（-

3

3

m²-

3

3

m+

2 3

3

）=3（-

3

3

m+

3

3

），
∴2m²-m-1=0，解得：m=-

1

2

或1（舍），
∴P（-

1

2

，-

3

4

）；
②要使三角形BOD面积与四边形BPOD面积之比为2：3则，
2（-

3

3

m²-

3

3

m+

2 3

3

）=3（

3

3

m+

2 3

3

），
∴2m²+5m+1=0，解得：m=-

1

2

或-2，
∴P（-

1

2

，-

3

4

）或P（-2，0）（不符合题意），
∴存在点P满足要求，起坐标为P（-

1

2

，-

3

4

）．
解：（1）如图，过点A作AF⊥x轴于点F，
在Rt△ABF中，∠AB0=30⁰，A的坐标为（1，

3

），
∴OF=1，AF=

3

，BF=3．
∴BO=BF-OF=2．  B（-2，O）．
设抛物线的解析式为y=ax（x+2）．将点A（l，

3

）代入，得a=

3

3

，
∴抛物线的解析式为y=

3

3

x²+

2 3

3

x，对称轴为直线x=-1，
（2）存在点C 设抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E．，
∵点B（一2，O）和点O（0，O）关于抛物线的对称轴对称，
∴当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△AOC的周长最小．
∵△BCE∽△BAF，
∴

BE

BF

=

CF

AF

，
∴CE=

BE·AF

BF

=

3

3

，
∴C点的坐标是（-1，

3

3

）；
（3）在x轴下方的抛物线上存在一点P，使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积之比为2：3，
理由如下：
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则

k+b= 3 -2k+b=0

，解得：

k= 3 3 b= 2 3 3

，
∴直线AB的解析式为y=

3

3

x+

2 3

3

，
如图连接AO，设P（m，n），
则D（m，

3

3

m+

2 3

3

），n=

3

3

m²+

2 3

3

m，
S_{四边形BPOD}=

1

2

BO·DP=

1

2

×2（

3

3

m+

2 3

3

-n）=-

3

3

m²-

3

3

m+

2 3

3

，
S_△BOD=

1

2

×2×（

3

3

m+

2 3

3

）=

3

3

m+

2 3

3

，
S_△AOD=S_△AOB-S_△BOD=

1

2

×2

3

-

3

3

m+

2 3

3

=-

3

3

m+

3

3

，
①要使三角形AOD面积与四边形BPOD面积之比为2：3则，
2（-

3

3

m²-

3

3

m+

2 3

3

）=3（-

3

3

m+

3

3

），
∴2m²-m-1=0，解得：m=-

1

2

或1（舍），
∴P（-

1

2

，-

3

4

）；
②要使三角形BOD面积与四边形BPOD面积之比为2：3则，
2（-

3

3

m²-

3

3

m+

2 3

3

）=3（

3

3

m+

2 3

3

），
∴2m²+5m+1=0，解得：m=-

1

2

或-2，
∴P（-

1

2

，-

3

4

）或P（-2，0）（不符合题意），
∴存在点P满足要求，起坐标为P（-

1

2

，-

3

4

）．