试题

（2008·莆田）如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）已知AD=AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC有最小值？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（注：抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=-

b

2a

）

解：（1）解法一：设抛物线的解析式为
y=a（x+3）（x-4）
因为B（0，4）在抛物线上，
所以4=a（0+3）（0-4）
解得a=-

1

3

所以抛物线解析式为
y=-

1

3

（x+3）（x-4）=-

1

3

x²+

1

3

x+4
解法二：设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
依题意得：c=4且

9a-3b+4=0 16a+4b+4=0

解得

a=- 1 3 b= 1 3

所以所求的抛物线的解析式为y=-

1

3

x²+

1

3

x+4．

（2）连接DQ，在Rt△AOB中，AB=

AO2+BO2

=

32+42

=5
所以AD=AB=5，AC=AO+CO=3+4=7，CD=AC-AD=7-5=2
因为BD垂直平分PQ，
所以PD=QD，PQ⊥BD，
所以∠PDB=∠QDB
因为AD=AB，
所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，
所以DQ∥AB
所以∠CQD=∠CBA．∠CDQ=∠CAB，
所以△CDQ∽△CAB，

DQ

AB

=

CD

CA

即

DQ

5

=

2

7

，DQ=

10

7

所以AP=AD-DP=AD-DQ=5-

10

7

=

25

7

，
t=

25

7

÷1=

25

7

，
所以t的值是

25

7

．

（3）答：对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小
理由：因为抛物线的对称轴为x=-

b

2a

=

1

2

所以A（-3，0），C（4，0）两点关于直线x=

1

2

对称
连接AQ交直线x=

1

2

于点M，则MQ+MC的值最小
∵过点Q作QE⊥x轴于E，
∴∠QED=∠BOA=90度
DQ∥AB，∠BAO=∠QDE，△DQE∽△ABO，

QE

BO

=

DQ

AB

=

DE

AO

即

QE

4

=

10 7

5

=

DE

3

所以QE=

8

7

，DE=

6

7

，
所以OE=OD+DE=2+

6

7

=

20

7

，
所以Q（

20

7

，

8

7

）
设直线AQ的解析式为y=kx+m（k≠0）
则

20 7 k+m= 8 7 -3k+m=0

由此得

k= 8 41 m= 24 41

所以直线AQ的解析式为y=

8

41

x+

24

41

联立

x= 1 2 y= 8 41 x+ 24 41

由此得

x= 1 2 y= 8 41 x+ 24 41

所以M（

1

2

，

28

41

）
则：在对称轴上存在点M（

1

2

，

28

41

），使MQ+MC的值最小．
解：（1）解法一：设抛物线的解析式为
y=a（x+3）（x-4）
因为B（0，4）在抛物线上，
所以4=a（0+3）（0-4）
解得a=-

1

3

所以抛物线解析式为
y=-

1

3

（x+3）（x-4）=-

1

3

x²+

1

3

x+4
解法二：设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
依题意得：c=4且

9a-3b+4=0 16a+4b+4=0

解得

a=- 1 3 b= 1 3

所以所求的抛物线的解析式为y=-

1

3

x²+

1

3

x+4．

（2）连接DQ，在Rt△AOB中，AB=

AO2+BO2

=

32+42

=5
所以AD=AB=5，AC=AO+CO=3+4=7，CD=AC-AD=7-5=2
因为BD垂直平分PQ，
所以PD=QD，PQ⊥BD，
所以∠PDB=∠QDB
因为AD=AB，
所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，
所以DQ∥AB
所以∠CQD=∠CBA．∠CDQ=∠CAB，
所以△CDQ∽△CAB，

DQ

AB

=

CD

CA

即

DQ

5

=

2

7

，DQ=

10

7

所以AP=AD-DP=AD-DQ=5-

10

7

=

25

7

，
t=

25

7

÷1=

25

7

，
所以t的值是

25

7

．

（3）答：对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小
理由：因为抛物线的对称轴为x=-

b

2a

=

1

2

所以A（-3，0），C（4，0）两点关于直线x=

1

2

对称
连接AQ交直线x=

1

2

于点M，则MQ+MC的值最小
∵过点Q作QE⊥x轴于E，
∴∠QED=∠BOA=90度
DQ∥AB，∠BAO=∠QDE，△DQE∽△ABO，

QE

BO

=

DQ

AB

=

DE

AO

即

QE

4

=

10 7

5

=

DE

3

所以QE=

8

7

，DE=

6

7

，
所以OE=OD+DE=2+

6

7

=

20

7

，
所以Q（

20

7

，

8

7

）
设直线AQ的解析式为y=kx+m（k≠0）
则

20 7 k+m= 8 7 -3k+m=0

由此得

k= 8 41 m= 24 41

所以直线AQ的解析式为y=

8

41

x+

24

41

联立

x= 1 2 y= 8 41 x+ 24 41

由此得

x= 1 2 y= 8 41 x+ 24 41

所以M（

1

2

，

28

41

）
则：在对称轴上存在点M（

1

2

，

28

41

），使MQ+MC的值最小．