试题

（2008·荆州）已知：如图，Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，C为OA上一点且OC=OB，抛物线y=（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）（m、p为常数且m+2≥2p＞0）经过A、C两点．
（1）用m、p分别表示OA、OC的长；
（2）当m、p满足什么关系时，△AOB的面积最大．

解：（1）令y=0得：（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）=0，
x²-mx-2x=p²-pm-2p，
∴（x-p）（x+p）-x（m+2）+p（m+2）=0，
整理得：（x-p）（x-m-2+p）=0，
∴x₁=p，x₂=m+2-p，
∵m+2＞2p＞0
∴m+2-p＞p＞0，
∴OA=m+2-p，OC=P．

（2）∵OC=OB，S_△AOB=

1

2

OA·OB，
∴S_△AOB=

1

2

OA·OB=

1

2

P·（m+2-p），
=-

1

2

P²+

1

2

（m+2）·P，
∴当p=-

1 2 (m+2)

2×(- 1 2 )

=

1

2

（m+2）时，S_△AOB最大．
解：（1）令y=0得：（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）=0，
x²-mx-2x=p²-pm-2p，
∴（x-p）（x+p）-x（m+2）+p（m+2）=0，
整理得：（x-p）（x-m-2+p）=0，
∴x₁=p，x₂=m+2-p，
∵m+2＞2p＞0
∴m+2-p＞p＞0，
∴OA=m+2-p，OC=P．

（2）∵OC=OB，S_△AOB=

1

2

OA·OB，
∴S_△AOB=

1

2

OA·OB=

1

2

P·（m+2-p），
=-

1

2

P²+

1

2

（m+2）·P，
∴当p=-

1 2 (m+2)

2×(- 1 2 )

=

1

2

（m+2）时，S_△AOB最大．