试题

题目：
（2008·衡阳）如图1，B是长度为1的线段AE上任意一点，在AE的同一侧分别作正方形ABCD和长方形BEFG，且EF=2BE．
青果学院
（1）点B在何处时，正方形ABCD的面积与长方形BEFG的面积和最小，最小值为多少？
（2）若点C与点G重合，M为AB中点，N为EF中点，MN与BC交于点H（如图2所示），将△OMA沿直线DM，△MNE沿直线MN分别向矩形AEFD内折叠，求四边形DMNF未被两个折叠三角形覆盖的图形面积．
答案
解：（1）设BE=x，则AB=1-x，EF=2x，根据题意得：
S=（x-1）2+2x2=3x2-2x+1，
当x=
1
3
，即BE=
1
3
，S最小=
2
3
．

（2）当BE=
1
3
时，AB=AD=
2
3
，
所以四边形DMNF未被两个折叠三角形覆盖的图形面积为：
2
3
-4×
1
2
×
1
3
×
2
3
=
2
9
．
解：（1）设BE=x，则AB=1-x，EF=2x，根据题意得：
S=（x-1）2+2x2=3x2-2x+1，
当x=
1
3
，即BE=
1
3
，S最小=
2
3
．

（2）当BE=
1
3
时，AB=AD=
2
3
，
所以四边形DMNF未被两个折叠三角形覆盖的图形面积为：
2
3
-4×
1
2
×
1
3
×
2
3
=
2
9
．
考点梳理
二次函数综合题；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．
（1）根据正方形的性质和折叠的特点可用含x的式子表示出线段的长度，用含x的式子表示出正方形ABCD的面积与长方形BEFG的面积和利用二次函数的最值问题求出，当x=
1
3
，即BE=
1
3
，S最小=
2
3
．
（2）根据（1）可知BE=
1
3
时，AB=AD=
2
3
，所以四边形DMNF未被两个折叠三角形覆盖的图形面积为：
2
3
-4×
1
2
×
1
3
×
2
3
=
2
9
．
主要考查了展开与折叠，正方形和二次函数的综合题．要掌握数形结合的方法，会利用二次函数的最值找到几何图形着的动点问题的最值．
压轴题．
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