试题

（2008·福州）如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=3，OC=2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．

解：（1）E（3，1）；F（1，2）．

（2）在Rt△EBF中，∠B=90°，
∴EF=

EB2+BF2

=

12+22

=

5

．
设点P的坐标为（0，n），其中n＞0，
∵顶点F（1，2），
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）²+2（a≠0）．
①如图1，
当EF=PF时，EF²=PF²，
∴1²+（n-2）²=5．
解得n₁=0（舍去）；n₂=4．
∴P（0，4）．
∴4=a（0-1）²+2．
解得a=2．
∴抛物线的解析式为y=2（x-1）²+2
②如图2，
当EP=FP时，EP²=FP²，
∴（2-n）²+1=（1-n）²+9．
解得n=-

5

2

（舍去）
③当EF=EP时，EP=

5

＜3，这种情况不存在．
综上所述，符合条件的抛物线解析式是y=2（x-1）²+2．

（3）存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小．
如图3，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，
连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．
∴E′（3，-1），F′（-1，2），NF=NF′，ME=ME′．
∴BF′=4，BE′=3．
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′=

32+42

=5．
又∵EF=

5

，
∴FN+MN+ME+EF=5+

5

，此时四边形MNFE的周长最小值是5+

5

．
解：（1）E（3，1）；F（1，2）．

（2）在Rt△EBF中，∠B=90°，
∴EF=

EB2+BF2

=

12+22

=

5

．
设点P的坐标为（0，n），其中n＞0，
∵顶点F（1，2），
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）²+2（a≠0）．
①如图1，
当EF=PF时，EF²=PF²，
∴1²+（n-2）²=5．
解得n₁=0（舍去）；n₂=4．
∴P（0，4）．
∴4=a（0-1）²+2．
解得a=2．
∴抛物线的解析式为y=2（x-1）²+2
②如图2，
当EP=FP时，EP²=FP²，
∴（2-n）²+1=（1-n）²+9．
解得n=-

5

2

（舍去）
③当EF=EP时，EP=

5

＜3，这种情况不存在．
综上所述，符合条件的抛物线解析式是y=2（x-1）²+2．

（3）存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小．
如图3，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，
连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点．
∴E′（3，-1），F′（-1，2），NF=NF′，ME=ME′．
∴BF′=4，BE′=3．
∴FN+NM+ME=F′N+NM+ME′=E′F′=

32+42

=5．
又∵EF=

5

，
∴FN+MN+ME+EF=5+

5

，此时四边形MNFE的周长最小值是5+

5

．