试题

（2007·宜宾）已知：如图，二次函数y=x²+（2k-1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使锐角△AOB的面积等于3．求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵y=x²+（2k-1）x+k+1过（0，0），
∴k+1=0，k=-1，
y=x²-3x．

（2）设B（x₀，y₀），
∵y=x²-3x的对称轴为直线x=

3

2

∴x₀＞

3

2

，y₀＜0，
易知：A（3，0），即OA=3，
又∵

1

2

×OA·|y₀|=3
∴y₀=±2
当y₀=-2时，-2=x₀²-3x₀，
解得，x₀=2，x₀=1（舍去）；
∴B（2，-2）；

（3）当B（2，-2）时，直线OB的解析式为y=-x，
∵B0⊥PO，
∴直线0P的解析式为y=x，
∵两函数相交
∴P₁（0，0）舍去，P₂（4，4）；
由勾股定理算出OB=2

2

，OP=4

2

，
S_△OPB=

1

2

×2

2

×4

2

=8．
解：（1）∵y=x²+（2k-1）x+k+1过（0，0），
∴k+1=0，k=-1，
y=x²-3x．

（2）设B（x₀，y₀），
∵y=x²-3x的对称轴为直线x=

3

2

∴x₀＞

3

2

，y₀＜0，
易知：A（3，0），即OA=3，
又∵

1

2

×OA·|y₀|=3
∴y₀=±2
当y₀=-2时，-2=x₀²-3x₀，
解得，x₀=2，x₀=1（舍去）；
∴B（2，-2）；

（3）当B（2，-2）时，直线OB的解析式为y=-x，
∵B0⊥PO，
∴直线0P的解析式为y=x，
∵两函数相交
∴P₁（0，0）舍去，P₂（4，4）；
由勾股定理算出OB=2

2

，OP=4

2

，
S_△OPB=

1

2

×2

2

×4

2

=8．