试题

（2007·襄阳）如图，在平面直角坐标系中，以点C（0，4）为圆心，半径为4的圆交y轴正半轴于点A，AB是⊙C的切线．动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从O点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P、Q从点A和点O同时出发，设运动时间为t（秒）．
（1）当t=1时，得到P₁、Q₁两点，求经过A、P₁、Q₁三点的抛物线解析式及对称轴l；
（2）当t为何值时，直线PQ与⊙C相切并写出此时点P和点Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线对称轴l上存在一点N，使NP+NQ最小，求出点N的坐标并说明理由．

解：（1）由题意得A、P₁、Q₁的坐标分别为A（0，8）、P₁（1，8）、Q₁（4，0）（1分）
设所求抛物线解析式为y=ax²+bx+c
则

8=c 8=a+b+c 0=16a+4b+c

∴a=-

2

3

，b=

2

3

，c=8
∴所求抛物线为y=-

2

3

x²+

2

3

x+8
对称轴为直线l：x=

1

2

；

（2）设t=a时，PQ与⊙C相切于点M
连接CP、CM、CQ，则PA=PM=a，QO=QM=4a
又∵CP、CQ分别平分∠APQ和∠OQP，
而∠APQ+∠OQP=180°
∴∠PCQ=90°
∴PC⊥CQ
∴Rt△CMP∽Rt△QMC
∴

CM

PM

=

QM

CM

即

4

a

=

4a

4

∴a=±2
由于时间a只能取正数，
所以a=2
即当运动时间t=2时，PQ与⊙C相切
此时：P（2，8），Q（8，0）；

（3）∵A（0，8），P（2，8），Q（8，0），
∴抛物线解析式为：y=-

1

6

x²+

1

3

x+8，
此时对称轴l：x=1，点P关于直线l的对称点为P'（0，8），
则直线P'Q的解析式为：y=-x+8，
当x=1时，y=-1+8=7．
因此N点的坐标为（1，7）．
解：（1）由题意得A、P₁、Q₁的坐标分别为A（0，8）、P₁（1，8）、Q₁（4，0）（1分）
设所求抛物线解析式为y=ax²+bx+c
则

8=c 8=a+b+c 0=16a+4b+c

∴a=-

2

3

，b=

2

3

，c=8
∴所求抛物线为y=-

2

3

x²+

2

3

x+8
对称轴为直线l：x=

1

2

；

（2）设t=a时，PQ与⊙C相切于点M
连接CP、CM、CQ，则PA=PM=a，QO=QM=4a
又∵CP、CQ分别平分∠APQ和∠OQP，
而∠APQ+∠OQP=180°
∴∠PCQ=90°
∴PC⊥CQ
∴Rt△CMP∽Rt△QMC
∴

CM

PM

=

QM

CM

即

4

a

=

4a

4

∴a=±2
由于时间a只能取正数，
所以a=2
即当运动时间t=2时，PQ与⊙C相切
此时：P（2，8），Q（8，0）；

（3）∵A（0，8），P（2，8），Q（8，0），
∴抛物线解析式为：y=-

1

6

x²+

1

3

x+8，
此时对称轴l：x=1，点P关于直线l的对称点为P'（0，8），
则直线P'Q的解析式为：y=-x+8，
当x=1时，y=-1+8=7．
因此N点的坐标为（1，7）．