试题

二次函数y=ax²+bx+6（a≠0）的图象交y轴于C点，交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x²-4x-12=0的两个根．
（1）求出点A、点B的坐标及该二次函数表达式．
（2）如图2，连接AC、BC，点Q是线段OB上一个动点（点Q不与点O、B重合），过点Q作QD∥AC交于BC点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．
（3）如图3，线段MN是直线y=x上的动线段（点M在点N左侧），且MN=

2

，若M点的横坐标为n，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出n的值；若不能，请说明理由．

解：（1）∵一元二次方程x²-4x-12=0的两个根，分别是x=-6或2，点A、点B的横坐标是方程的两个根，点A在点B的左侧，
∴A（-2，0）、B（6，0），将A、B两点坐标代入二次函数y=ax²+bx+6，得

4a-2b+6=0 36a+6b+6=0

，
解得

a=- 1 2 b=2

，
故y=-

1

2

x²+2x+6；

（2）依题意，得AB=8，QB=6-m，AQ=m+2，OC=6，则S_△ABC=

1

2

AB×OC=24，
∵由DQ∥AC，
∴△BDQ∽△BCA，

S△BDQ

S△BCA

=（

BQ

BA

）²=（

6-m

8

）²，
即S_△BDQ=

3

8

（m-6）²，
又∵S_△ACQ=

1

2

AQ×OC=3m+6，
∴S=S_△ABC-S_△BDQ-S_△ACQ=24-

3

8

（m-6）²-（3m+6）=-

3

8

m²+

3

2

m+

9

2

=-

3

8

（m-2）²+6，
∴当m=2时，S最大；

（3）∵MN=

2

，点A，B都在直线y=x上，MN在直线AB上，MN在线段 AB上，M的横坐标为n，纵坐标也为n，
如图3，过点M作x轴的平行线，过点N作y轴的平行线，它们相交于点H．
∴△MHN是等腰直角三角形．
∴MH=NH=1．
∴点N的坐标为（n+1，n+1），
①如图4，当n＞0时，PM=n，
NQ=n+1-[-

1

2

（n+1）²+2（n+1）+6]，
当四边形PMQN为平行四边形时，PM=NQ．
则n=n+1-[-

1

2

（n+1）²+2（n+1）+6]，
解得n=1+

14

或

14

-1；
②如图5，当n＜0时，PM=-m，
NQ=n+1-[-

1

2

（n+1）²+2（n+1）+6]，
当四边形PMQN为平行四边形时，PM=NQ．
则-n=n+1-[-

1

2

（n+1）²+2（n+1）+6]，
解得n=1-

14

或-1-

14

，
③∵直线AB过O，即直线经过第一、三象限，
∴点M在第3象限点N在第2象限不存在；
综上所述以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形，n的值是n=1±

14

，或n=-1±

14

．
解：（1）∵一元二次方程x²-4x-12=0的两个根，分别是x=-6或2，点A、点B的横坐标是方程的两个根，点A在点B的左侧，
∴A（-2，0）、B（6，0），将A、B两点坐标代入二次函数y=ax²+bx+6，得

4a-2b+6=0 36a+6b+6=0

，
解得

a=- 1 2 b=2

，
故y=-

1

2

x²+2x+6；

（2）依题意，得AB=8，QB=6-m，AQ=m+2，OC=6，则S_△ABC=

1

2

AB×OC=24，
∵由DQ∥AC，
∴△BDQ∽△BCA，

S△BDQ

S△BCA

=（

BQ

BA

）²=（

6-m

8

）²，
即S_△BDQ=

3

8

（m-6）²，
又∵S_△ACQ=

1

2

AQ×OC=3m+6，
∴S=S_△ABC-S_△BDQ-S_△ACQ=24-

3

8

（m-6）²-（3m+6）=-

3

8

m²+

3

2

m+

9

2

=-

3

8

（m-2）²+6，
∴当m=2时，S最大；

（3）∵MN=

2

，点A，B都在直线y=x上，MN在直线AB上，MN在线段 AB上，M的横坐标为n，纵坐标也为n，
如图3，过点M作x轴的平行线，过点N作y轴的平行线，它们相交于点H．
∴△MHN是等腰直角三角形．
∴MH=NH=1．
∴点N的坐标为（n+1，n+1），
①如图4，当n＞0时，PM=n，
NQ=n+1-[-

1

2

（n+1）²+2（n+1）+6]，
当四边形PMQN为平行四边形时，PM=NQ．
则n=n+1-[-

1

2

（n+1）²+2（n+1）+6]，
解得n=1+

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或

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-1；
②如图5，当n＜0时，PM=-m，
NQ=n+1-[-

1

2

（n+1）²+2（n+1）+6]，
当四边形PMQN为平行四边形时，PM=NQ．
则-n=n+1-[-

1

2

（n+1）²+2（n+1）+6]，
解得n=1-

14

或-1-

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，
③∵直线AB过O，即直线经过第一、三象限，
∴点M在第3象限点N在第2象限不存在；
综上所述以点P，M，Q，N为顶点的四边形能为平行四边形，n的值是n=1±

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，或n=-1±

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