试题

如图，抛物线y=

1

2

x²+bx-2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若E是抛物线上异于C的点，且S_△ABE=S_△ABC，则满足条件的点E有 个；
（3）判断△ABC的形状，证明你的结论．

解：（1）∵抛物线y=

1

2

x²+bx-2过A（-1，0）点，
∴0=

1

2

×1+b×（-1）-2，
∴b=-

3

2

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
∴y=

1

2

x²-

3

2

x-2，
=

1

2

（x²-3x）-2，
=

1

2

（x²-3x+

9

4

-

9

4

）-2，
=

1

2

（x-

3

2

）²-

9

8

-2，
=

1

2

（x-

3

2

）²-

25

8

，
∴顶点D的坐标为（

3

2

，-

25

8

）；

（2）∵E是抛物线上异于C的点，且S_△ABE=S_△ABC，
∴只需满足E到x轴的距离等于C到x轴的距离即可，
∴满足条件的点E有3个；

（3）∵抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

（x-

3

2

）²-

25

8

，
∴当y=0，
∴0=

1

2

（x-

3

2

）²-

25

8

，
解得：x₁=4，x₂=-1，
∴A（-1，0），B（4，0），
当x=0，y=-2，
∴AO=1，CO=2，
∴AC=

5

，
BO=4，
∴BC=2

5

∴AB=5，
∵AC²=5，BC²=20，AB²=25，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．