试题

已知，如图，抛物线=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点M在抛物线上，且△ABC与△ABM的面积相等，直接写出点M的坐标；
（3）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标．

解：（1）∵点C（0，4），
∴c=4，
∵点A的坐标为（4，0），
∴0=16a-8a+4，
∴a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

x²+x+4；

（2）∵△ABC与△ABM的面积相等，
C点坐标为：（0，4），
∴M的纵坐标为：±4，
∴4=-

1

2

x²+x+4；
解得：x ₁=0，x ₂=2，
∴M点的坐标为：（2，4），
当-4=-

1

2

x²+x+4；
解得：x ₁=1+

17

，x ₂=1-

17

，
∴M点的坐标为：（1+

17

，-4），或（1-

17

，-4），
∴综上所述：M点的坐标为：（2，4）、（1+

17

，-4）或（1-

17

，-4）；

（3）∵B（-2，0，），AB=6，
∴S_△ABC=

1

2

×6×4=12，
设BQ=x，
∵EQ∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴（

BQ

AB

）²=

S△BEQ

S△ABC

=（

x

6

）²，
∴S_△BEQ

x2

36

×12=

1

3

x²，
∴S_△CQE=

1

2

x×4-

1

3

x²=-

1

3

x²+2x，
当x=-

b

2a

=3时，S_△CQE面积最大，
∴Q点坐标为（1，0）．
解：（1）∵点C（0，4），
∴c=4，
∵点A的坐标为（4，0），
∴0=16a-8a+4，
∴a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

x²+x+4；

（2）∵△ABC与△ABM的面积相等，
C点坐标为：（0，4），
∴M的纵坐标为：±4，
∴4=-

1

2

x²+x+4；
解得：x ₁=0，x ₂=2，
∴M点的坐标为：（2，4），
当-4=-

1

2

x²+x+4；
解得：x ₁=1+

17

，x ₂=1-

17

，
∴M点的坐标为：（1+

17

，-4），或（1-

17

，-4），
∴综上所述：M点的坐标为：（2，4）、（1+

17

，-4）或（1-

17

，-4）；

（3）∵B（-2，0，），AB=6，
∴S_△ABC=

1

2

×6×4=12，
设BQ=x，
∵EQ∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴（

BQ

AB

）²=

S△BEQ

S△ABC

=（

x

6

）²，
∴S_△BEQ

x2

36

×12=

1

3

x²，
∴S_△CQE=

1

2

x×4-

1

3

x²=-

1

3

x²+2x，
当x=-

b

2a

=3时，S_△CQE面积最大，
∴Q点坐标为（1，0）．