试题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，4），顶点为（1，

9

2

）．

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）如图①，设该抛物线的对称轴与x轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标；
（3）如图②，连结AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连结CE，记△CEF的面积为S，求出S的最大值及此时E点的坐标．

解：（1）因为抛物线的顶点为（1，

9

2

），
所以设抛物线的函数关系式为y=a （ x-1）²+

9

2

，
∵抛物线与y轴交于点C（0，4），
∴a（0-1）²+

9

2

=4．   
解得：a=-

1

2

．
∴所求抛物线的函数关系式为y=-

1

2

（x-1）²+

9

2

．

（2）如图①，过点C作CE⊥对称轴于点E，
当CD=CP₁时，∵点C（0，4），顶点为（1，

9

2

），
∴CD=

42+12

=

17

，DE=4，
∴CP₁=

17

，EP₁=4，
∴P₁的坐标为：（1，8），
当CD=DP₂时，P₂的坐标为：（1，

17

），
当CP₃=DP₃时，
设CP₃=DP₃=y，
∴CE²+EP

2 3

=CP

2 3

，
∴1+（4-y）²=y²，
解得：y=

17

8

，
∴P₃的坐标为：（1，

17

8

），
当CD=CP₄时，
P₄的坐标为：（1，-

17

），
综上所述：符合条件的所有P点坐标是：
（1，

17

），（1，-

17

），（1，8），（1，

17

8

）；

（3）令-

1

2

（x-1）²+

9

2

=0，
解得：x₁=-2，x₂=4，．
∴抛物线y=-

1

2

（x-1）²+

9

2

与x轴的交点为A（-2，0），B（4，0）．
过点F作FM⊥OB于点M．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．

MF

CO

=

EB

AB

．
又∵OC=4，AB=6，
∴MF=

BE

AB

×CO=

2

3

EB．
设E点坐标（x，0），则EB=4-x．MF=

2

3

（4-x），
∴S=S_△BCE-S_△BEF=

1

2

EB·CO-

1

2

EB·MF，
=

1

2

EB（OC-MF）=

1

2

（4-x）[4-

2

3

（4-x）]
=-

1

3

x²+

2

3

x+

8

3

=-

1

3

（x-1）²+3．
Qa=-

1

3

＜0，
∴S有最大值．
当x=1时，S_最大值=3．   
此时点E的坐标为（1，0）．
解：（1）因为抛物线的顶点为（1，

9

2

），
所以设抛物线的函数关系式为y=a （ x-1）²+

9

2

，
∵抛物线与y轴交于点C（0，4），
∴a（0-1）²+

9

2

=4．   
解得：a=-

1

2

．
∴所求抛物线的函数关系式为y=-

1

2

（x-1）²+

9

2

．

（2）如图①，过点C作CE⊥对称轴于点E，
当CD=CP₁时，∵点C（0，4），顶点为（1，

9

2

），
∴CD=

42+12

=

17

，DE=4，
∴CP₁=

17

，EP₁=4，
∴P₁的坐标为：（1，8），
当CD=DP₂时，P₂的坐标为：（1，

17

），
当CP₃=DP₃时，
设CP₃=DP₃=y，
∴CE²+EP

2 3

=CP

2 3

，
∴1+（4-y）²=y²，
解得：y=

17

8

，
∴P₃的坐标为：（1，

17

8

），
当CD=CP₄时，
P₄的坐标为：（1，-

17

），
综上所述：符合条件的所有P点坐标是：
（1，

17

），（1，-

17

），（1，8），（1，

17

8

）；

（3）令-

1

2

（x-1）²+

9

2

=0，
解得：x₁=-2，x₂=4，．
∴抛物线y=-

1

2

（x-1）²+

9

2

与x轴的交点为A（-2，0），B（4，0）．
过点F作FM⊥OB于点M．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．

MF

CO

=

EB

AB

．
又∵OC=4，AB=6，
∴MF=

BE

AB

×CO=

2

3

EB．
设E点坐标（x，0），则EB=4-x．MF=

2

3

（4-x），
∴S=S_△BCE-S_△BEF=

1

2

EB·CO-

1

2

EB·MF，
=

1

2

EB（OC-MF）=

1

2

（4-x）[4-

2

3

（4-x）]
=-

1

3

x²+

2

3

x+

8

3

=-

1

3

（x-1）²+3．
Qa=-

1

3

＜0，
∴S有最大值．
当x=1时，S_最大值=3．   
此时点E的坐标为（1，0）．