试题

如图，已知抛物线的顶点A在y轴上，坐标A（0，1）矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），S_矩形CDEF=8
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过B作直线MN，与抛物线交于点M、N，过M、N分别向x轴作垂线MR、NQ，分别交x轴于R、Q，求证：MR=MB；
（3）在线段QR上是否存在一个点P，使得以点P、R、M为顶点的三角形和以P、N、Q为顶点的三角形相似？若存在．请说明理由，并找出P的位置；若不存在，也请说明理由．

解：（1）∵矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），S_矩形CDEF=8，
∴EF×DE=8，
∴DE=4，∴F点坐标为：（2，2），
设抛物线的解析式为y=ax²+c，其过点A（0，1）和F（2，2），
所以，

c=1 4a+c=2

，
解得：

a= 1 4 c=1

，
所以，此函数解析式为y=

1

4

x²+1；


（2）如图1，过点B作BT⊥MR于T，
∵M点在抛物线y=

1

4

x²+1上，可设点M（a，

1

4

a²+1），
∴MR=

1

4

a²+1，OB=RT=2，BT=a，
∴MT=MR-TR=

1

4

a²+1-2=

1

4

a²-1，
在Rt△BMT中，MB²=BT²+MT²=（

1

4

a²-1）²+a²=（

1

4

a²+1）²，
∴BM=

1

4

a²+1，
∵MR=

1

4

a²+1，
∴MB=MR；

（3）如图2，若以点P、R、M为顶点的三角形和以P、N、Q为顶点的三角形相似，
∵∠PRM=∠PQN=90°，
∴分△PQN∽△MRP和△PQN∽△PRM两种情况，
当△PQN∽△MRP时，∠NPQ=∠RMP，∠QNP=∠RPM，
根据直角三角形两锐角互余可得，∠NPQ+∠RPM=90°，
∴∠NPM=90°，
取MN的中点W，连接WP，则WP=

1

2

MN=

1

2

（NQ+MR），
∴WP为梯形NQRM的中位线，
∴P为QR的中点；
当△PQN∽△PRM时，
∵

PQ

PR

=

QN

MR

，
∵MB=MR，同理可得出：NB=NQ，
∴

PQ

PR

=

QN

MR

=

BN

MB

，
又∵

BN

BM

=

QO

OR

，
∴点P与点O重合，
综上所述，点P为QR的中点时，△PQN∽△MRP；点P为原点时△PQN∽△PRM．
解：（1）∵矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），S_矩形CDEF=8，
∴EF×DE=8，
∴DE=4，∴F点坐标为：（2，2），
设抛物线的解析式为y=ax²+c，其过点A（0，1）和F（2，2），
所以，

c=1 4a+c=2

，
解得：

a= 1 4 c=1

，
所以，此函数解析式为y=

1

4

x²+1；


（2）如图1，过点B作BT⊥MR于T，
∵M点在抛物线y=

1

4

x²+1上，可设点M（a，

1

4

a²+1），
∴MR=

1

4

a²+1，OB=RT=2，BT=a，
∴MT=MR-TR=

1

4

a²+1-2=

1

4

a²-1，
在Rt△BMT中，MB²=BT²+MT²=（

1

4

a²-1）²+a²=（

1

4

a²+1）²，
∴BM=

1

4

a²+1，
∵MR=

1

4

a²+1，
∴MB=MR；

（3）如图2，若以点P、R、M为顶点的三角形和以P、N、Q为顶点的三角形相似，
∵∠PRM=∠PQN=90°，
∴分△PQN∽△MRP和△PQN∽△PRM两种情况，
当△PQN∽△MRP时，∠NPQ=∠RMP，∠QNP=∠RPM，
根据直角三角形两锐角互余可得，∠NPQ+∠RPM=90°，
∴∠NPM=90°，
取MN的中点W，连接WP，则WP=

1

2

MN=

1

2

（NQ+MR），
∴WP为梯形NQRM的中位线，
∴P为QR的中点；
当△PQN∽△PRM时，
∵

PQ

PR

=

QN

MR

，
∵MB=MR，同理可得出：NB=NQ，
∴

PQ

PR

=

QN

MR

=

BN

MB

，
又∵

BN

BM

=

QO

OR

，
∴点P与点O重合，
综上所述，点P为QR的中点时，△PQN∽△MRP；点P为原点时△PQN∽△PRM．