试题

如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，且B（2，1）．矩形OABC绕点O按逆时针方向旋转90°后得到矩形ODEF．抛物线y=-

1

4

x²+bx+c经过E、B两点．
（1）请直接写出点D和点E的坐标；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）在第一象限内是否存在点P，使得以点O、A、P、Q为顶点的平行四边形的面积是矩形OABC面积的2倍，且点P在抛物线上？若存在，求出点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵B（2，1），
∴OA=2，AB=1，
∵矩形OABC绕点O按逆时针方向旋转90°后得到矩形ODEF，
∴OD=OA=2，DE=AB=1，
∴点D（0，2），点E（-1，2）；

（2）把点B、E的坐标代入抛物线y=-

1

4

x²+bx+c得，

- 1 4 ×4+2b+c=1 - 1 4 ×1-b+c=2

，
解得

b=- 1 12 c= 13 6

，
所以，抛物线的解析式为y=-

1

4

x²-

1

12

x+

13

6

；

（3）设点P的纵坐标为y，
∵以点O、A、P、Q为顶点的平行四边形的面积是矩形OABC面积的2倍，
∴OA·y=2OA·AB，
即2y=2×2×1，
解得y=2，
当y=2时，-

1

4

x²-

1

12

x+

13

6

=2，
整理得，3x²+x-2=0，
解得x₁=

2

3

，x₂=-1，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为（

2

3

，2），
根据平行四边形的对边平行且相等，PQ=OA=2，
当点Q在点P的左边时，点Q的横坐标为

2

3

-2=-

4

3

，
此时点Q的坐标为（-

4

3

，2），
当点Q在点P的右边时，点Q的横坐标为

2

3

+2=

8

3

，
此时点Q的坐标为（

8

3

，2），
综上所述，存在点P（

2

3

，2），点Q（-

4

3

，2）或（

8

3

，2）．
解：（1）∵B（2，1），
∴OA=2，AB=1，
∵矩形OABC绕点O按逆时针方向旋转90°后得到矩形ODEF，
∴OD=OA=2，DE=AB=1，
∴点D（0，2），点E（-1，2）；

（2）把点B、E的坐标代入抛物线y=-

1

4

x²+bx+c得，

- 1 4 ×4+2b+c=1 - 1 4 ×1-b+c=2

，
解得

b=- 1 12 c= 13 6

，
所以，抛物线的解析式为y=-

1

4

x²-

1

12

x+

13

6

；

（3）设点P的纵坐标为y，
∵以点O、A、P、Q为顶点的平行四边形的面积是矩形OABC面积的2倍，
∴OA·y=2OA·AB，
即2y=2×2×1，
解得y=2，
当y=2时，-

1

4

x²-

1

12

x+

13

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=2，
整理得，3x²+x-2=0，
解得x₁=

2

3

，x₂=-1，
∵点P在第一象限，
∴点P的坐标为（

2

3

，2），
根据平行四边形的对边平行且相等，PQ=OA=2，
当点Q在点P的左边时，点Q的横坐标为

2

3

-2=-

4

3

，
此时点Q的坐标为（-

4

3

，2），
当点Q在点P的右边时，点Q的横坐标为

2

3

+2=

8

3

，
此时点Q的坐标为（

8

3

，2），
综上所述，存在点P（

2

3

，2），点Q（-

4

3

，2）或（

8

3

，2）．