试题

如图1，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=

1

3

．

（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，求点E的坐标．
（3）平行于x轴的直线与抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求圆的半径．
（4）如图2，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．

解：（1）由已知得：C（0，-3），A（-1，0）
将A、B、C三点的坐标代入得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

．
所以这个二次函数的表达式为：y=x²-2x-3．    

（2）存在，F点的坐标为（2，-3）
易得D（1，-4），所以直线CD的解析式为：y=-x-3，
故E点的坐标为（-3，0）．

（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，R），
代入抛物线的表达式y=x²-2x-3，解得R=

1+ 17

2

②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），
则N（r+1，-r），
代入抛物线的表达式y=x²-2x-3，解得r=

-1+ 17

2

．
故圆的半径为

1+ 17

2

或

-1+ 17

2

．   

（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，-3），直线AG为y=-x-1．
设P（x，x²-2x-3），则Q（x，-x-1），PQ=-x²+x+2．
S_△APG=S_△APQ+S_△GPQ=

1

2

（-x²+x+2）×3          
当x=

1

2

时，△APG的面积最大
此时P点的坐标为（

1

2

，-

15

4

），S_△APG的最大值为

27

8

．
解：（1）由已知得：C（0，-3），A（-1，0）
将A、B、C三点的坐标代入得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

．
所以这个二次函数的表达式为：y=x²-2x-3．    

（2）存在，F点的坐标为（2，-3）
易得D（1，-4），所以直线CD的解析式为：y=-x-3，
故E点的坐标为（-3，0）．

（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，R），
代入抛物线的表达式y=x²-2x-3，解得R=

1+ 17

2

②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），
则N（r+1，-r），
代入抛物线的表达式y=x²-2x-3，解得r=

-1+ 17

2

．
故圆的半径为

1+ 17

2

或

-1+ 17

2

．   

（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，-3），直线AG为y=-x-1．
设P（x，x²-2x-3），则Q（x，-x-1），PQ=-x²+x+2．
S_△APG=S_△APQ+S_△GPQ=

1

2

（-x²+x+2）×3          
当x=

1

2

时，△APG的面积最大
此时P点的坐标为（

1

2

，-

15

4

），S_△APG的最大值为

27

8

．