试题

如图，Rt△ABC中，∠C=Rt∠，AC=BC=2，E，F分别为AC，AB的中点，连接EF．现将一把直角尺放在给出的图形上，使直角顶点P在线段EF（包括端点）上滑动，直角的一边始终经过点C，另一边与BF相交于G，连接AP．
（1）求证：PC=PA=PG；
（2）设EP=x，四边形BCPG的面积为y，求y与x之间的函数解析式，现有三个数

1

2

，

9

8

，

7

4

试通过计算说明哪几个数符合y值的要求，并求出符合y值时的x的值；
（3）当直角顶点P滑动到点F时，再将直角尺绕点F顺时针旋转，两直角边分别交AC，BC于点M，N，连接MN．当旋转到使MN=

10

7

时，求△APM的周长．

解：（1）∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴EF=

1

2

BC=1，EF∥BC，
∴EF垂直平分AC，
∴AP=PC，
∴∠ECP=∠EAP；
∵∠CPG=90°，
∴∠ECP+∠EPC=∠GPF+∠EPC，
∴∠ECP=∠GPF．
∵∠GPF+∠PGF=∠AFE=45°，
∠EAP+∠PAF=45°，
∴∠PGF=∠PAF．
∴PA=PG，
∴PC=PA=PG；

（2）过G作PF的垂线，垂足为H，（如图1）
∵∠ECP+∠EPC=90°，∠HPG+∠EPC=90°
∴∠ECP=∠HPG，PC=PG．
则Rt△PCE≌Rt△GPH（AAS），
∴GH=PE=x，
∴y=

1

2

(1+2)×1-

1

2

x×1-

1

2

(1-x)x，
∴y=

1

2

x2-x+

3

2

，或y=

1

2

(x-1)2+1，
∵0≤x＜1，
∴1＜y≤

3

2

．∴

1

2

，

7

4

不符合，
所以只有

9

8

，
∴

1

2

x2-x+

3

2

=

9

8

，4x²-8x+3=0，解得，x1=

1

2

，x2=

3

2

＞1（舍去），
答当x=

1

2

时，y的值为

9

8

．
或①当y=

1

2

时，

1

2

x2-x+

3

2

=

1

2

，△＜0，方程无实数解；
②当y=

9

8

时，4x²-8x+3=0，解得，x1=

1

2

，x2=

3

2

＞1（舍去），
所以当x=

1

2

时，y的值为

9

8

．
③当y=

7

4

时，

1

2

x2-x+

3

2

=

7

4

，解得x1=1-

6

2

＜0（舍去），x2=1+

6

2

＞1（舍去），所以不符合．

（3）连接CP，则CP⊥AB，（如图2，3）
∵AP=CP，∠A=∠PCN=45°，
∠APM+∠MPC=∠CPN+∠MPN=90°，
∴∠APM=∠CPN，△APM≌△CPN（ASA），
∴AM=CN，
则CM=BN，AM=CN=x，则CM=2-x，x2+(2-x)2=(

10

7

)2，
解得，x1=

8

7

，x2=

6

7

，即AM=

8

7

或

6

7

；
∴PM=

5

7

2

，AP=

2

，
∴周长为

8

7

+

12

7

2

或

6

7

+

12

7

2

．
解：（1）∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴EF=

1

2

BC=1，EF∥BC，
∴EF垂直平分AC，
∴AP=PC，
∴∠ECP=∠EAP；
∵∠CPG=90°，
∴∠ECP+∠EPC=∠GPF+∠EPC，
∴∠ECP=∠GPF．
∵∠GPF+∠PGF=∠AFE=45°，
∠EAP+∠PAF=45°，
∴∠PGF=∠PAF．
∴PA=PG，
∴PC=PA=PG；

（2）过G作PF的垂线，垂足为H，（如图1）
∵∠ECP+∠EPC=90°，∠HPG+∠EPC=90°
∴∠ECP=∠HPG，PC=PG．
则Rt△PCE≌Rt△GPH（AAS），
∴GH=PE=x，
∴y=

1

2

(1+2)×1-

1

2

x×1-

1

2

(1-x)x，
∴y=

1

2

x2-x+

3

2

，或y=

1

2

(x-1)2+1，
∵0≤x＜1，
∴1＜y≤

3

2

．∴

1

2

，

7

4

不符合，
所以只有

9

8

，
∴

1

2

x2-x+

3

2

=

9

8

，4x²-8x+3=0，解得，x1=

1

2

，x2=

3

2

＞1（舍去），
答当x=

1

2

时，y的值为

9

8

．
或①当y=

1

2

时，

1

2

x2-x+

3

2

=

1

2

，△＜0，方程无实数解；
②当y=

9

8

时，4x²-8x+3=0，解得，x1=

1

2

，x2=

3

2

＞1（舍去），
所以当x=

1

2

时，y的值为

9

8

．
③当y=

7

4

时，

1

2

x2-x+

3

2

=

7

4

，解得x1=1-

6

2

＜0（舍去），x2=1+

6

2

＞1（舍去），所以不符合．

（3）连接CP，则CP⊥AB，（如图2，3）
∵AP=CP，∠A=∠PCN=45°，
∠APM+∠MPC=∠CPN+∠MPN=90°，
∴∠APM=∠CPN，△APM≌△CPN（ASA），
∴AM=CN，
则CM=BN，AM=CN=x，则CM=2-x，x2+(2-x)2=(

10

7

)2，
解得，x1=

8

7

，x2=

6

7

，即AM=

8

7

或

6

7

；
∴PM=

5

7

2

，AP=

2

，
∴周长为

8

7

+

12

7

2

或

6

7

+

12

7

2

．