试题

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-3，0）、B两点，与y轴相交于点C（0，

3

）．当x=-4和x=2时，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的函数值y相等，连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M、N时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得△ACF是等腰三角形？若不存在请说明理由；若存在，请求出F点坐标．

解：（1）由题意可得，对称轴为x=

-4+2

2

=-1，
由对称性可得B点坐标为（1，0）
则设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），
又过点 C（0，

3

），代入可解得a=-

3

3

则解析式为y=-

3

3

(x+3)(x-1)，
即y=-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

（2）∵M、N点的运动速度相同，∴BM=BN=t，
又由翻折可得，NB=NP=t，MB=MP=t
∴四边形BMPN是菱形，∴PN平行MN（即x轴）
∴△CPN相似于△CAB．
∴

PN

AB

=

CN

CB

易得AB=4，BC=2
∴

t

4

=

2-t

2

解得t=

4

3

∴NB=

4

3

，∴CN=

2

3

∴

CN

CB

=

CD

CO

=

DN

OB

，
代入可解得CD=

3

3

，DN=

1

3

∴OD=

2 3

3

，PD=1
∴P(-1，

2 3

3

)

（3）在直角△AOC中，AC=

OA2+OC2

=

9+3

=2

3

．
设F点坐标为（1，a）
①当AF=AC时，∵AC=2

3

，∴AE=

(-1+3)2+a2

=2

3

解得：a=±2

2

∴F（-1，2

2

）或（-1，-2

2

）；
②当CF=CA时，∴CE=

12+(a- 3 )2

=2

3

解得：a=

3

±

11

．
则F的坐标是（-1，

3

+

11

）或（-1，

3

-

11

）；
③当EA=EC时，E点为AC垂直平分线与对称轴的交点，中点H的坐标是（-

3

2

，

3

2

）．
设直线AC的解析式是：y=kx+b，根据题意得：

-3k+b=0 b= 3

，解得：

k= 3 3 b= 3

，
则AC的解析式是：y=

3

3

x+

3

．
∵F点为AC垂直平分线与对称轴的交点，
∴直线HF的一次项系数是-

3

．
设HF的解析式是y=-

3

x+c，把H的坐标代入得：-

3

×（-

3

2

）+c=

3

2

，解得：c=-

3

，
则HF的解析式是：y=-

3

x-

3

．
令x=-1，解得y=0，
则F的坐标是（-1，0）．
总之，F的坐标是：（-1，2

2

）或（-1，-2

2

）或（-1，

3

+

11

）或（-1，

3

-

11

）或（-1，0）．
解：（1）由题意可得，对称轴为x=

-4+2

2

=-1，
由对称性可得B点坐标为（1，0）
则设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x-1），
又过点 C（0，

3

），代入可解得a=-

3

3

则解析式为y=-

3

3

(x+3)(x-1)，
即y=-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

（2）∵M、N点的运动速度相同，∴BM=BN=t，
又由翻折可得，NB=NP=t，MB=MP=t
∴四边形BMPN是菱形，∴PN平行MN（即x轴）
∴△CPN相似于△CAB．
∴

PN

AB

=

CN

CB

易得AB=4，BC=2
∴

t

4

=

2-t

2

解得t=

4

3

∴NB=

4

3

，∴CN=

2

3

∴

CN

CB

=

CD

CO

=

DN

OB

，
代入可解得CD=

3

3

，DN=

1

3

∴OD=

2 3

3

，PD=1
∴P(-1，

2 3

3

)

（3）在直角△AOC中，AC=

OA2+OC2

=

9+3

=2

3

．
设F点坐标为（1，a）
①当AF=AC时，∵AC=2

3

，∴AE=

(-1+3)2+a2

=2

3

解得：a=±2

2

∴F（-1，2

2

）或（-1，-2

2

）；
②当CF=CA时，∴CE=

12+(a- 3 )2

=2

3

解得：a=

3

±

11

．
则F的坐标是（-1，

3

+

11

）或（-1，

3

-

11

）；
③当EA=EC时，E点为AC垂直平分线与对称轴的交点，中点H的坐标是（-

3

2

，

3

2

）．
设直线AC的解析式是：y=kx+b，根据题意得：

-3k+b=0 b= 3

，解得：

k= 3 3 b= 3

，
则AC的解析式是：y=

3

3

x+

3

．
∵F点为AC垂直平分线与对称轴的交点，
∴直线HF的一次项系数是-

3

．
设HF的解析式是y=-

3

x+c，把H的坐标代入得：-

3

×（-

3

2

）+c=

3

2

，解得：c=-

3

，
则HF的解析式是：y=-

3

x-

3

．
令x=-1，解得y=0，
则F的坐标是（-1，0）．
总之，F的坐标是：（-1，2

2

）或（-1，-2

2

）或（-1，

3

+

11

）或（-1，

3

-

11

）或（-1，0）．