试题

如图．已知反比例函数y=

k

x

的图象与二次函数y=ax²+x-3的图象相交于点A（4，5）
（1）求a和k的值；
（2）反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点？说明理由．
（3）若二次函数图象与x轴交于B、D两点，与y轴交于点C．问：反比例函数y=

k

x

的图象上是否存在一点P，使△PBD的面积等于四边形ABCD面积的2倍？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）∵反比例函数y=

k

x

的图象与二次函数y=ax²+x-3的图象相交于点A（4，5），
∴5=16a+4-3，5=

k

4

，
解得：a=

1

4

，k=20；

（2）反比例函数的图象不经过二次函数图象的顶点，
由（1）知，二次函数和反比例函数的关系式分别是：
y=

1

4

x²+x-3和y=

20

x

，
∵y=

1

4

x²+x-3=

1

4

（x+2）²-4，
∴二次函数的顶点坐标是（-2，-4）
∵x=-2时，y=

20

-2

=-10≠-4，
∴反比例函数的图象不经过二次函数图象的顶点；

（3）存在．
令y=0，则有

1

4

x²+x-3=0，
∴x²+4x-12=0
解得：x₁=-6，x₂=2，
∴D（-6，0），B（2，0）
∵C（0，-3）
∴S_ABCD=S_△ABD+S_△BDC=

1

2

×8×（3+5）=32，
∵S_△PBD=

1

2

×8×h，
当4h=2×32时，h=16，
∴当y=±16时，

20

x

=±16，x=±

5

4

，
∴反比例函数的图象存在两点P₁（

5

4

，16），P₂（-

5

4

，-16）使得△PBD的面积等于四边形ABCD面积的2倍．
解：（1）∵反比例函数y=

k

x

的图象与二次函数y=ax²+x-3的图象相交于点A（4，5），
∴5=16a+4-3，5=

k

4

，
解得：a=

1

4

，k=20；

（2）反比例函数的图象不经过二次函数图象的顶点，
由（1）知，二次函数和反比例函数的关系式分别是：
y=

1

4

x²+x-3和y=

20

x

，
∵y=

1

4

x²+x-3=

1

4

（x+2）²-4，
∴二次函数的顶点坐标是（-2，-4）
∵x=-2时，y=

20

-2

=-10≠-4，
∴反比例函数的图象不经过二次函数图象的顶点；

（3）存在．
令y=0，则有

1

4

x²+x-3=0，
∴x²+4x-12=0
解得：x₁=-6，x₂=2，
∴D（-6，0），B（2，0）
∵C（0，-3）
∴S_ABCD=S_△ABD+S_△BDC=

1

2

×8×（3+5）=32，
∵S_△PBD=

1

2

×8×h，
当4h=2×32时，h=16，
∴当y=±16时，

20

x

=±16，x=±

5

4

，
∴反比例函数的图象存在两点P₁（

5

4

，16），P₂（-

5

4

，-16）使得△PBD的面积等于四边形ABCD面积的2倍．