试题

（2007·绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A、C的坐标分别为（2，0）、（1，3

3

）．将△AOC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线y=ax²-2

3

x经过点A，点D是该抛物线的顶点．
（1）求证：四边形ABCO是平行四边形；
（2）求a的值并说明点B在抛物线上；
（3）若点P是线段OA上一点，且∠APD=∠OAB，求点P的坐标；
（4）若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，写出点P的坐标．

（1）证明：∵△AOC绕AC的中点旋转180°，
点O落到点B的位置，
∴△ACO≌△CAB．
∴AO=CB，CO=AB，
∴四边形ABCO是平行四边形．

（2）解：∵抛物线y=ax²-2

3

x经过点A，
点A的坐标为（2，0），
∴4a-4

3

=0，
解得：a=

3

．
∴y=

3

x²-2

3

x．
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OA∥CB．
∵点C的坐标为（1，3

3

），
∴点B的坐标为（3，3

3

）．
把x=3代入此函数解析式，得：y=

3

×3²-2

3

×3=3

3

．
∴点B的坐标满足此函数解析式，点B在此抛物线上．
∴顶点D的坐标为（1，-

3

）．

（3）连接BO，
过点B作BE⊥x轴于点E，
过点D作DF⊥x轴于点F．
tan∠BOE=

3

，tan∠DAF=

3

，
∴tan∠BOE=tan∠DAF．
∴∠BOE=∠DAF．
∵∠APD=∠OAB，
∴△APD∽△OAB．
设点P的坐标为（x，0），
∴

AP

OA

=

AD

OB

，
∴

2-x

2

=

2

6

，
解得：x=

4

3

．
∴点P的坐标为（

4

3

，0）．

（4）
分三种情况进行讨论：
①如第一个图：此时QD=AP=1，因此OP=OA-1=1，P点的坐标为（1，0）；
②如第二个图：此时OP=OA+AP=3，P点的坐标为（3，0）；
③如第三个图：此时D，Q两点的纵坐标互为相反数，因此Q点的坐标为（0，

3

），根据A，D的坐标可求出直线AD的解析式为y=

3

x-2

3

，由于QP∥AD，因此直线PQ的解析式为y=

3

x+

3

，可求得P点的坐标为（-1，0）．
综上所述，共有3个符合条件的P点的坐标，即P₁（1，0），P₂（-1，0），P₃（3，0）．
（1）证明：∵△AOC绕AC的中点旋转180°，
点O落到点B的位置，
∴△ACO≌△CAB．
∴AO=CB，CO=AB，
∴四边形ABCO是平行四边形．

（2）解：∵抛物线y=ax²-2

3

x经过点A，
点A的坐标为（2，0），
∴4a-4

3

=0，
解得：a=

3

．
∴y=

3

x²-2

3

x．
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴OA∥CB．
∵点C的坐标为（1，3

3

），
∴点B的坐标为（3，3

3

）．
把x=3代入此函数解析式，得：y=

3

×3²-2

3

×3=3

3

．
∴点B的坐标满足此函数解析式，点B在此抛物线上．
∴顶点D的坐标为（1，-

3

）．

（3）连接BO，
过点B作BE⊥x轴于点E，
过点D作DF⊥x轴于点F．
tan∠BOE=

3

，tan∠DAF=

3

，
∴tan∠BOE=tan∠DAF．
∴∠BOE=∠DAF．
∵∠APD=∠OAB，
∴△APD∽△OAB．
设点P的坐标为（x，0），
∴

AP

OA

=

AD

OB

，
∴

2-x

2

=

2

6

，
解得：x=

4

3

．
∴点P的坐标为（

4

3

，0）．

（4）
分三种情况进行讨论：
①如第一个图：此时QD=AP=1，因此OP=OA-1=1，P点的坐标为（1，0）；
②如第二个图：此时OP=OA+AP=3，P点的坐标为（3，0）；
③如第三个图：此时D，Q两点的纵坐标互为相反数，因此Q点的坐标为（0，

3

），根据A，D的坐标可求出直线AD的解析式为y=

3

x-2

3

，由于QP∥AD，因此直线PQ的解析式为y=

3

x+

3

，可求得P点的坐标为（-1，0）．
综上所述，共有3个符合条件的P点的坐标，即P₁（1，0），P₂（-1，0），P₃（3，0）．