试题

（2007·南宁）如图1，在锐角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于点H，且AH=6，点D为AB边上的任意一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E．设△ADE的高AF为x（0＜x＜6），以DE为折线将△ADE翻折，所得的△A'DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（点A关于DE的对称点A'落在AH所在的直线上）．
（1）分别求出当0＜x≤3与3＜x＜6时，y与x的函数关系式；
（2）当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？

解：（1）①当0＜x≤3时，由折叠得到的△A'ED落在△ABC内部如图（1），重叠部分为△A'ED
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC（1分）
∴

DE

BC

=

AF

AH

，
∴

DE

9

=

x

6

，即DE=

3

2

x
又∵FA'=FA=x
∴y=

1

2

DE·A′F=

1

2

×

3

2

x·x
∴y=

3

4

x²（0＜x≤3）
②当3＜x＜6时，由折叠得到的△A'ED有一部分落在△ABC外，如图（2），重叠部分为梯形EDPQ
∵FH=6-AF=6-x
A'H=A'F-FH=x-（6-x）=2x-6
又∵DE∥PQ
∴△A′PQ∽△A′DE
∴

PQ

DE

=

A′H

A′F

∴

PQ

3 2 x

=

2x-6

x

，PQ=3（x-3）
∴y=

1

2

（DE+PQ）×FH

1

2

[

3

2

x+3（x-3）]×（6-x）
∴y=-

9

4

x²+18x-27（3＜x＜6）；

（2）当0＜x≤3时，y的最大值：y₁=

3

4

x²=

3

4

×3²=

27

4

；
当3＜x＜6时，由y=-

9

4

x²+18x-27=-

9

4

（x-4）²+9
可知：当x=4时，y的最大值：y₂=9；
∵y₁＜y₂，
∴当x=4时，y有最大值：y_最大=9．
解：（1）①当0＜x≤3时，由折叠得到的△A'ED落在△ABC内部如图（1），重叠部分为△A'ED
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC（1分）
∴

DE

BC

=

AF

AH

，
∴

DE

9

=

x

6

，即DE=

3

2

x
又∵FA'=FA=x
∴y=

1

2

DE·A′F=

1

2

×

3

2

x·x
∴y=

3

4

x²（0＜x≤3）
②当3＜x＜6时，由折叠得到的△A'ED有一部分落在△ABC外，如图（2），重叠部分为梯形EDPQ
∵FH=6-AF=6-x
A'H=A'F-FH=x-（6-x）=2x-6
又∵DE∥PQ
∴△A′PQ∽△A′DE
∴

PQ

DE

=

A′H

A′F

∴

PQ

3 2 x

=

2x-6

x

，PQ=3（x-3）
∴y=

1

2

（DE+PQ）×FH

1

2

[

3

2

x+3（x-3）]×（6-x）
∴y=-

9

4

x²+18x-27（3＜x＜6）；

（2）当0＜x≤3时，y的最大值：y₁=

3

4

x²=

3

4

×3²=

27

4

；
当3＜x＜6时，由y=-

9

4

x²+18x-27=-

9

4

（x-4）²+9
可知：当x=4时，y的最大值：y₂=9；
∵y₁＜y₂，
∴当x=4时，y有最大值：y_最大=9．