题目：
（2007·呼和浩特）如图，在矩形ABCD中，AB=2| 2 |
（1）设AP=x，△PQE的面积为S．请写出S关于x的函数解析式，并确定x的取值范围．
（2）点P在运动过程中，△PQE的面积是否有最大值？若有，请求出最大值及此时AP的取值；若无，请说明理由．
答案
解：（1）过点P作PF⊥BC，垂足为F．∵在矩形ABCD中，PF∥AB
∴△PFC∽△ABC（1分）
∴
| FC |
| BC |
| PC |
| AC |
| PF |
| AB |
又∵AP=x，BC=AD=1，AB=2
| 2 |
又∵在Rt△ABC中，AC=
| AB2+BC2 |
(2
|
∴PC=3-x
∴
| FC |
| 1 |
| 3-x |
| 3 |
∴FC=
| 3-x |
| 3 |
BF=BC-FC=1-
| 3-x |
| 3 |
| x |
| 3 |
又∵PE⊥CD
∴∠PEC=90°
又在四边形PFCE中，∠PFC=∠BCD=∠PEC=90°
∴四边形PFCE为矩形
∴∠FPE=90°
又∵PQ⊥BP
∴∠BPQ=90°
∴∠FPE=∠BPQ
∴∠EPQ+∠QPF=∠BPF+∠FPQ
∴∠EPQ=∠BPF又∠PEQ=∠BFP=90°
∴△PEQ∽△PFB（3分）
∴
| EQ |
| BF |
| PE |
| PF |
又∵PE=FC
∴
| EQ |
| BF |
| FC |
| PF |
又∵
| FC |
| BC |
| PF |
| AB |
∴
| FC |
| PF |
| BC |
| AB |
∴
| EQ |
| BF |
| BC |
| AB |
∴EQ=
| BC·BF |
| AB |
∴EQ=
| 1 | ||
2
|
| x |
| 3 |
| ||
| 12 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 12 |
| 3-x |
| 3 |
∴S=-
| ||
| 72 |
| ||
| 24 |
| ||
| 72 |
过点B作BK⊥AC，垂足为K．
在Rt△ABC中，由等积法可得
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴AC·BK=AB·BC
∴BK=
| AB·BC |
| AC |
2
| ||
| 3 |
由题意可得当Q与C重合时，P与K重合即AP=AK，
由△ABK∽△ACB
得
| AK |
| BK |
| AB |
| BC |
即
| x | ||||
|
2
| ||
| 1 |
∴x=
| 8 |
| 3 |
∴x的取值范围是0＜x≤
| 8 |
| 3 |
（2）△PQE面积有最大值（8分）
由（1）可得S=-
| ||
| 72 |
| ||
| 24 |
| ||
| 72 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 32 |
∴当x=
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 32 |
解：（1）过点P作PF⊥BC，垂足为F．
∵在矩形ABCD中，PF∥AB
∴△PFC∽△ABC（1分）
∴
| FC |
| BC |
| PC |
| AC |
| PF |
| AB |
又∵AP=x，BC=AD=1，AB=2
| 2 |
又∵在Rt△ABC中，AC=
| AB2+BC2 |
(2
|
∴PC=3-x
∴
| FC |
| 1 |
| 3-x |
| 3 |
∴FC=
| 3-x |
| 3 |
BF=BC-FC=1-
| 3-x |
| 3 |
| x |
| 3 |
又∵PE⊥CD
∴∠PEC=90°
又在四边形PFCE中，∠PFC=∠BCD=∠PEC=90°
∴四边形PFCE为矩形
∴∠FPE=90°
又∵PQ⊥BP
∴∠BPQ=90°
∴∠FPE=∠BPQ
∴∠EPQ+∠QPF=∠BPF+∠FPQ
∴∠EPQ=∠BPF又∠PEQ=∠BFP=90°
∴△PEQ∽△PFB（3分）
∴
| EQ |
| BF |
| PE |
| PF |
又∵PE=FC
∴
| EQ |
| BF |
| FC |
| PF |
又∵
| FC |
| BC |
| PF |
| AB |
∴
| FC |
| PF |
| BC |
| AB |
∴
| EQ |
| BF |
| BC |
| AB |
∴EQ=
| BC·BF |
| AB |
∴EQ=
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2
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| x |
| 3 |
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∴S=
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| 2 |
| 1 |
| 2 |
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| 3-x |
| 3 |
∴S=-
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过点B作BK⊥AC，垂足为K．
在Rt△ABC中，由等积法可得
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴AC·BK=AB·BC
∴BK=
| AB·BC |
| AC |
2
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| 3 |
由题意可得当Q与C重合时，P与K重合即AP=AK，
由△ABK∽△ACB
得
| AK |
| BK |
| AB |
| BC |
即
| x | ||||
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2
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| 1 |
∴x=
| 8 |
| 3 |
∴x的取值范围是0＜x≤
| 8 |
| 3 |
（2）△PQE面积有最大值（8分）
由（1）可得S=-
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∴当x=
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| 2 |
| 3 |
| 2 |
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