试题

如图，在平面直角坐标系中，以点M（

3

，0）为圆心，以2

3

为半径的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点．抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若⊙M的切线交x轴正半轴于点P，交y轴负半轴于点Q，切点为N，且∠OPQ=30°，试判断直线PQ是否经过抛物线的顶点？说明理由；
（3）点K是⊙M位于y轴右侧上的一动点，连结KB交y轴于点H，问是否存在一个常数k．始终满足BH·BK=k？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．

解：（1）如图，连接MC．
∵M（

3

，0），BM=AM=MC=2

3

，
∴OC=

MC2-OM2

=3，
∴A（3

3

，0），B（-

3

，0），C（0，-3）．则

27a+3 3 b+c=0 3a- 3 b+c=0 c=-3

，
解得，

a= 1 3 b=- 2 3 3 c=-3

，
∴该抛物线的解析式为：y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3；

（2）直线PQ经过抛物线的顶点．理由如下：
由（1）知，抛物线的解析式为y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3，即y=

1

3

(x-

3

)2-4，则其顶点坐标是（

3

，-4）．
如图，连接MN，设直线PQ交抛物线对称轴于点G．
∵PQ是⊙M的切线，∴MN⊥PQ．
∴∠1=∠2=30°．
又∵MN=2

3

∴MG=

MN

cos30°

=4，则G（

3

，-4），即点G是抛物线的顶点坐标，
∴直线PQ经过抛物线的顶点；

（3）存在，理由如下：
如图，连接AK．
∵AB是直径，
∴∠AKB=∠BOH=90°，
又∵∠HBO=∠ABK，
∴△BOH∽△BKA，
∴

BH

BA

=

BO

BK

，则BH·BK=BO·BA=

3

×4

3

=12，即k=12．
解：（1）如图，连接MC．
∵M（

3

，0），BM=AM=MC=2

3

，
∴OC=

MC2-OM2

=3，
∴A（3

3

，0），B（-

3

，0），C（0，-3）．则

27a+3 3 b+c=0 3a- 3 b+c=0 c=-3

，
解得，

a= 1 3 b=- 2 3 3 c=-3

，
∴该抛物线的解析式为：y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3；

（2）直线PQ经过抛物线的顶点．理由如下：
由（1）知，抛物线的解析式为y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3，即y=

1

3

(x-

3

)2-4，则其顶点坐标是（

3

，-4）．
如图，连接MN，设直线PQ交抛物线对称轴于点G．
∵PQ是⊙M的切线，∴MN⊥PQ．
∴∠1=∠2=30°．
又∵MN=2

3

∴MG=

MN

cos30°

=4，则G（

3

，-4），即点G是抛物线的顶点坐标，
∴直线PQ经过抛物线的顶点；

（3）存在，理由如下：
如图，连接AK．
∵AB是直径，
∴∠AKB=∠BOH=90°，
又∵∠HBO=∠ABK，
∴△BOH∽△BKA，
∴

BH

BA

=

BO

BK

，则BH·BK=BO·BA=

3

×4

3

=12，即k=12．