试题

如图，在直角坐标系中，O为原点．点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，tan∠OAB=2．二次函数y=ax²+bx+2的图象经过点A、B，顶点为D，对称轴为x=3．
（1）求这个二次函数的解析；
（2）设二次函数y=ax²+bx+2的图象与x轴交另一点C，则二次函数图象上是否存在点P（m，n）（其中1＜m＜5）使四边形PABC的面积最大？若存在，求出点P的坐标和四边形PABC面积最大值；若不存在，请说明理由；
（3）已知Q为x轴上一点（异与A点），当以Q，B，O三点为顶点的三角形与△OAB相似时，求点Q的坐标．

解：（1）由题意，点B的坐标是（0，2）
∴OB=2
∵tan∠OAB=

OB

OA

=2，
∴OA=1，点A（1，0）
∴0=a+b+2，b=-6a；
∴a=0.4，b=-2.4
∴所求解析式是y=0.4x²-2.4x+2；

（2）由（1）题得：顶点D（3，-1.6），点C（5，0）
∴S_△ABC=4，
∴当△PAC面积最大时，四边形PABC的面积取最大值；
∵S_△PAC不大于S_△DAC，
∴当P（3，-1.6）时，四边形PABC的面积取最大值7.2；

（3）当以Q，B，O三点为顶点的三角形与△OAB相似时
需满足：

OB

OB

=

OQ

OA

或

OB

OA

=

OQ

OB

当

OB

OB

=

OQ

OA

时，OQ=OA=1，
∴Q（-1，0）或Q（1，0）（舍去）
当

OB

OA

=

OQ

OB

时，OQ=4，
∴Q（-4，0）或Q（4，0）
综上：∴Q（-1，0）或Q（-4，0）或Q（4，0）．
解：（1）由题意，点B的坐标是（0，2）
∴OB=2
∵tan∠OAB=

OB

OA

=2，
∴OA=1，点A（1，0）
∴0=a+b+2，b=-6a；
∴a=0.4，b=-2.4
∴所求解析式是y=0.4x²-2.4x+2；

（2）由（1）题得：顶点D（3，-1.6），点C（5，0）
∴S_△ABC=4，
∴当△PAC面积最大时，四边形PABC的面积取最大值；
∵S_△PAC不大于S_△DAC，
∴当P（3，-1.6）时，四边形PABC的面积取最大值7.2；

（3）当以Q，B，O三点为顶点的三角形与△OAB相似时
需满足：

OB

OB

=

OQ

OA

或

OB

OA

=

OQ

OB

当

OB

OB

=

OQ

OA

时，OQ=OA=1，
∴Q（-1，0）或Q（1，0）（舍去）
当

OB

OA

=

OQ

OB

时，OQ=4，
∴Q（-4，0）或Q（4，0）
综上：∴Q（-1，0）或Q（-4，0）或Q（4，0）．