如图，已知对称轴为x=-frac{3}{2}的抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=3，D是抛物线上一点，且DC⊥OC．（1）求点D的坐标及抛物线y-青果题库-青果学院

题目：

如图，已知对称轴为x=-

3

2

的抛物线y=ax²+bx+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=3，D是抛物线上一点，且DC⊥OC．
（1）求点D的坐标及抛物线y=ax²+bx+c的表达式；
（2）连接OD，直线y=

1

2

x+m与OD交于点E，与y轴交于点F，若OE：DE=1：2，求m的值；
（3）若M是直线EF上一动点，在x轴上方是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）∵抛物线的对称轴为x=-

3

2

，经过点A（3，0），
∴

-

b

2a

=-

3

2

9a+3b+6=0

，解得

a=-

1

3

b=-1

，

∴抛物线解析式为y=-

1

3

x²-x+6；

（2）∵y=-

1

3

x²-x+6，
∴x=0时，y=6，即C点坐标为（0，6），
∴当y=6时，-

1

3

x²-x+6=6，
解得x=0或-3，
∴D点坐标为（-3，6），DC=3．
如图，过点E作EG⊥y轴于点G，则EG∥DC，
∴△OEG∽△ODC，
∴

EG

DC

=

OG

OC

=

OE

OD

=

1

3

，
∴EG=

1

3

DC=1，OG=

1

3

OC=2，
∴E点坐标为（-1，2）．
将E点坐标代入y=

1

2

x+m，
得2=-

1

2

+m，
解得m=

5

2

；

（3）若M是直线EF上一动点，在x轴上方存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形．
分两种情况：
①如图，OF为菱形的边时，如果OF=FM₁=M₁N₁=N₁O=

5

2

，
延长M₁N₁交x轴于点G₁，则M₁N₁⊥x轴．
∵点M₁在直线y=

1

2

x+

5

2

上，
∴设点M₁的坐标为（a，

1

2

a+

5

2

）（a＞0），则点N₁的坐标为（a，

1

2

a），
在Rt△OG₁N₁中，OG₁²+G₁N₁²=ON₁²，
即：a²+（

1

2

a）²=（

5

2

）²，
整理得：a²=5，
∵a＞0，
∴a=

5

，
∴点N₁的坐标为（

5

，

5

2

）；
同理，求得点M₂的坐标为（-2，

3

2

）（a＞0），则点N₂的坐标为（-2，4）；
青果学院

②如图，OF为菱形的对角线时，连接M₃N₃，交OF于点P，则M₃N₃与OF互相垂直平分，
∴OP=

1

2

OF=

5

4

，
∴当y=

5

4

时，

1

2

x+

5

2

=

5

4

，
解得：x=-

5

2

，
∴点M₃的坐标为（-

5

2

，

5

4

），
∴点N₃的坐标为（

5

2

，

5

4

）．
综上所述，x轴上方的点N有3个，分别为N₁（

5

，

5

2

），N₂（-2，4），N₃（

5

2

，

5

4

）．
解：（1）∵抛物线的对称轴为x=-

3

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