试题

如图，Rt△AOB中，∠OAB=90°，以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，将△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限的点C处，已知B点坐标是（2

3

，-2）；一个二次函数的图象经过O、C、A三个点．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）直线OC上是否存在点Q，使得△AQB的周长最小？若存在请求出Q点的坐标，若不存在请说明理由；
（3）若抛物线的对称轴交OB于点D，设P为线段DB上一点，过P点作PM∥y轴交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在请求出P点坐标，若不存在请说明理由．

解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H；
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，
∴OB=4，OA=2

3

；
由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2

3

，
∴∠COH=60°，OH=

3

，CH=3；
∴C点坐标为（

3

，3）．
∵抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过C（

3

，3）、A（2

3

，0）两点，
∴

3=3a+ 3 b 0=12a+2 3 b

，
解得

a=-1 b=2 3

；
∴此抛物线的函数关系式为：y=-x²+2

3

x．

（2）作A关于OC的对称点A′，BA′交OC于点Q．
∵B点坐标是(2

3

，2)
∴tan∠BOA=

2

2 3

=

3

3

∴∠BOA=30°
∴∠BOC=30°，
∴∠A′OC=∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°，
∴OA′与y轴的夹角是30°．
又∵OA=OA′=2

3

，
∴A′的坐标是：（-

3

，3）
设直线A′B的解析式是y=kx+b
根据题意得：

k=- 3 9 b= 8 3

则直线A′B的解析式是y=-

3

9

x+

8

3

．
直线OC的解析式是：y=

3

x．
解方程组：

y=- 3 9 x+ 8 3 y= 3 x

解得：

x= 4 3 5 y= 12 5

故Q的坐标是：（

4 3

5

，

12

5

）．
（3）存在．
因为y=-x²+2

3

x的顶点坐标为（

3

，3），
即为点C，MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t；
因为∠BOA=30°，
所以ON=

3

t，
∴P（

3

t，t）；
作PF⊥CD，垂足为F，ME⊥CD，垂足为E；
把x=

3

t代入y=-x²+2

3

x，
得y=-3t²+6t，
∴M（

3

t，-3t²+6t），E（

3

，-3t²+6t），
同理：F（

3

，t），D（

3

，1）；
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=FD，
即3-（-3t²+6t）=t-1，
解得t=

4

3

，t=1（舍），
∴P点坐标为（

4

3

3

，

4

3

），
∴存在满足条件的P点，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点坐标为（

4

3

3

，

4

3

）．
解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H；
∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，
∴OB=4，OA=2

3

；
由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2

3

，
∴∠COH=60°，OH=

3

，CH=3；
∴C点坐标为（

3

，3）．
∵抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过C（

3

，3）、A（2

3

，0）两点，
∴

3=3a+ 3 b 0=12a+2 3 b

，
解得

a=-1 b=2 3

；
∴此抛物线的函数关系式为：y=-x²+2

3

x．

（2）作A关于OC的对称点A′，BA′交OC于点Q．
∵B点坐标是(2

3

，2)
∴tan∠BOA=

2

2 3

=

3

3

∴∠BOA=30°
∴∠BOC=30°，
∴∠A′OC=∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°，
∴OA′与y轴的夹角是30°．
又∵OA=OA′=2

3

，
∴A′的坐标是：（-

3

，3）
设直线A′B的解析式是y=kx+b
根据题意得：

k=- 3 9 b= 8 3

则直线A′B的解析式是y=-

3

9

x+

8

3

．
直线OC的解析式是：y=

3

x．
解方程组：

y=- 3 9 x+ 8 3 y= 3 x

解得：

x= 4 3 5 y= 12 5

故Q的坐标是：（

4 3

5

，

12

5

）．
（3）存在．
因为y=-x²+2

3

x的顶点坐标为（

3

，3），
即为点C，MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t；
因为∠BOA=30°，
所以ON=

3

t，
∴P（

3

t，t）；
作PF⊥CD，垂足为F，ME⊥CD，垂足为E；
把x=

3

t代入y=-x²+2

3

x，
得y=-3t²+6t，
∴M（

3

t，-3t²+6t），E（

3

，-3t²+6t），
同理：F（

3

，t），D（

3

，1）；
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=FD，
即3-（-3t²+6t）=t-1，
解得t=

4

3

，t=1（舍），
∴P点坐标为（

4

3

3

，

4

3

），
∴存在满足条件的P点，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点坐标为（

4

3

3

，

4

3

）．