试题

如图，抛物线y=ax²+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=

3

2

．点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y=-x+n于点C．
（1）求直线AC及抛物线的解析式；
（2）若PM=

3

2

，求PC的长；
（3）过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，若点P在Q左侧，矩形PMNQ的周长记为d，求d的最大值．

解：（1）∵直线y=-x+n过点A（-1，0），
∴0=1+n，解得n=-1，
∴直线AC的解析式为y=-x-1；
∵抛物线y=ax²+bx+2的对称轴为直线x=

3

2

，经过点A（-1，0），
∴

- b 2a = 3 2 a-b+c=0

，解得

a=- 1 2 b= 3 2

，
∴抛物线的解析式是：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）如图，设M点横坐标为m，则P点坐标为（m，-

1

2

m²+

3

2

m+2），C点坐标为（m，-m-1）．
∵点M为线段AB上一点，
∴-1＜m＜4．
∴PM=-

1

2

m²+

3

2

m+2，PC=（-

1

2

m²+

3

2

m+2）-（-m-1）=-

1

2

m²+

5

2

m+3．
∵PM=

3

2

，
∴-

1

2

m²+

3

2

m+2=

3

2

，
整理，得m²-3m-1=0，
∴m²=3m+1，m=

3± 13

2

，
∴PC=-

1

2

m²+

5

2

m+3=-

1

2

（3m+1）+

5

2

m+3=m+

5

2

，
∴当m=

3± 13

2

时，PC=

8± 13

2

；

（3）设M点横坐标为m，则PM=-

1

2

m²+

3

2

m+2，MN=2（

3

2

-m）=3-2m，
∴矩形PMNQ的周长d=2（PM+MN）=2（-

1

2

m²+

3

2

m+2+3-2m）=-m²-m+10．
∵-m²-m+10=-（m+

1

2

）²+

41

4

，
∴当m=-

1

2

时，d有最大值=

41

4

．
解：（1）∵直线y=-x+n过点A（-1，0），
∴0=1+n，解得n=-1，
∴直线AC的解析式为y=-x-1；
∵抛物线y=ax²+bx+2的对称轴为直线x=

3

2

，经过点A（-1，0），
∴

- b 2a = 3 2 a-b+c=0

，解得

a=- 1 2 b= 3 2

，
∴抛物线的解析式是：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）如图，设M点横坐标为m，则P点坐标为（m，-

1

2

m²+

3

2

m+2），C点坐标为（m，-m-1）．
∵点M为线段AB上一点，
∴-1＜m＜4．
∴PM=-

1

2

m²+

3

2

m+2，PC=（-

1

2

m²+

3

2

m+2）-（-m-1）=-

1

2

m²+

5

2

m+3．
∵PM=

3

2

，
∴-

1

2

m²+

3

2

m+2=

3

2

，
整理，得m²-3m-1=0，
∴m²=3m+1，m=

3± 13

2

，
∴PC=-

1

2

m²+

5

2

m+3=-

1

2

（3m+1）+

5

2

m+3=m+

5

2

，
∴当m=

3± 13

2

时，PC=

8± 13

2

；

（3）设M点横坐标为m，则PM=-

1

2

m²+

3

2

m+2，MN=2（

3

2

-m）=3-2m，
∴矩形PMNQ的周长d=2（PM+MN）=2（-

1

2

m²+

3

2

m+2+3-2m）=-m²-m+10．
∵-m²-m+10=-（m+

1

2

）²+

41

4

，
∴当m=-

1

2

时，d有最大值=

41

4

．