试题

（2006·武汉）（人教版）已知：二次函数y=x²-（m+1）x+m的图象交x轴于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，交y轴正半轴于点C，且x₁²+x₂²=10．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）是否存在过点D（0，-

5

2

）的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．

解：（1）因为x₁²+x₂²=10，
所以（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，根据根与系数的关系，（m+1）²-2m=10，
所以m=3，m=-3，
又因为点C在y轴的正半轴上，
∴m=3，
∴所求抛物线的解析式为：y=x²-4x+3；

（2）过点D（0，-

5

2

）的直线与抛物线交于M（X_M，Y_M）、N（X_N，Y_N）两点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称．
设直线MN的解析式为：y=kx-

5

2

，
则有：Y_M+Y_N=0，（6分）
由

y=x2-4x+3 y=kx- 5 2

，
x²-4x+3=kx-

5

2

，
移项后合并同类项得x²-（k+4）x+

11

2

=0，
∴x_M+x_N=4+k．
∴y_M+y_N=kx_M-

5

2

+kx_N-

5

2

=k（x_M+x_N）-5=0，
∴y_M+y_N=k（x_M+x_N）=5，
即k（k+4）-5=0，
∴k=1或k=-5．
当k=-5时，方程x²-（k+4）x+

11

2

=0的判别式△＜0，直线MN与抛物线无交点，
∴k=1，
∴直线MN的解析式为y=x-

5

2

，
∴此时直线过一、三、四象限，与抛物线有交点；
∴存在过点D（0，-

5

2

）的直线与抛物线于M，N两点，与x轴交于点E．使得M、N两点关于点E对称．
解：（1）因为x₁²+x₂²=10，
所以（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，根据根与系数的关系，（m+1）²-2m=10，
所以m=3，m=-3，
又因为点C在y轴的正半轴上，
∴m=3，
∴所求抛物线的解析式为：y=x²-4x+3；

（2）过点D（0，-

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）的直线与抛物线交于M（X_M，Y_M）、N（X_N，Y_N）两点，与x轴交于点E，使得M、N两点关于点E对称．
设直线MN的解析式为：y=kx-

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，
则有：Y_M+Y_N=0，（6分）
由

y=x2-4x+3 y=kx- 5 2

，
x²-4x+3=kx-

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，
移项后合并同类项得x²-（k+4）x+

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=0，
∴x_M+x_N=4+k．
∴y_M+y_N=kx_M-

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+kx_N-

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=k（x_M+x_N）-5=0，
∴y_M+y_N=k（x_M+x_N）=5，
即k（k+4）-5=0，
∴k=1或k=-5．
当k=-5时，方程x²-（k+4）x+

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=0的判别式△＜0，直线MN与抛物线无交点，
∴k=1，
∴直线MN的解析式为y=x-

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，
∴此时直线过一、三、四象限，与抛物线有交点；
∴存在过点D（0，-

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）的直线与抛物线于M，N两点，与x轴交于点E．使得M、N两点关于点E对称．