试题

（2006·邵阳）如图，已知抛物线y=

1

4

x²+1，直线y=kx+b经过点B（0，2）
（1）求b的值；
（2）将直线y=kx+b绕着点B旋转到与x轴平行的位置时（如图1），直线与抛物线y=

1

4

x²+1相交，其中一个交点为P，求出P的坐标；
（3）将直线y=kx+b继续绕着点B旋转，与抛物线相交，其中一个交点为P'（如图②），过点P'作x轴的垂线P'M，点M为垂足．是否存在这样的点P'，使△P'BM为等边三角形？若存在，请求出点P'的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵直线y=kx+b过点B（0，2），
∴b=2．

（2）y=kx+b绕点B旋转到与x轴平行，即y=2，
∴P（2，2）或P（-2，2），
依题意有：

1

4

x²+1=2，
x=±2，
∴P（2，2）或P（-2，2）．

（3）假设存在点P'（x₀，y₀），使△P'BM为等边三角形，
如图，则∠BP'M=60°
P'M=y₀P'B=2（P'M-2）=2（y₀-2）
且P'M=P'B
即y₀=2（y₀-2）
y₀=4
又点P′在抛物线y=

1

4

x²+1上
∴

1

4

x²+1=4
x=±2

3

∴当直线y=kx+b绕点B旋转时与抛物线y=

1

4

x²+1相交，存在一个交点P′（2

3

，4）或P′（-2

3

，4）
使△P'BM为等边三角形．
解：（1）∵直线y=kx+b过点B（0，2），
∴b=2．

（2）y=kx+b绕点B旋转到与x轴平行，即y=2，
∴P（2，2）或P（-2，2），
依题意有：

1

4

x²+1=2，
x=±2，
∴P（2，2）或P（-2，2）．

（3）假设存在点P'（x₀，y₀），使△P'BM为等边三角形，
如图，则∠BP'M=60°
P'M=y₀P'B=2（P'M-2）=2（y₀-2）
且P'M=P'B
即y₀=2（y₀-2）
y₀=4
又点P′在抛物线y=

1

4

x²+1上
∴

1

4

x²+1=4
x=±2

3

∴当直线y=kx+b绕点B旋转时与抛物线y=

1

4

x²+1相交，存在一个交点P′（2

3

，4）或P′（-2

3

，4）
使△P'BM为等边三角形．