试题

（2006·临沂）如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．
①求证：PB=PS；
②判断△SBR的形状；
③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似？若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．

解：（1）方法一：
∵B点坐标为（0.2），
∴OB=2，
∵矩形CDEF面积为8，
∴CF=4．
∴C点坐标为（-2，2）．F点坐标为（2，2）．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．
其过三点A（0，1），C（-2.2），F（2，2）．
得

1=c 2=4a-2b+c 2=4a+2b+c

，
解这个方程组，得a=

1

4

，b=0，c=1，
∴此抛物线的解析式为y=

1

4

x²+1．（3分）
方法二：
∵B点坐标为（0.2），
∴OB=2，
∵矩形CDEF面积为8，
∴CF=4．
∴C点坐标为（-2，2），
根据题意可设抛物线解析式为y=ax²+c．
其过点A（0，1）和C（-2.2）

1=c 2=4a+c

解这个方程组，得a=

1

4

，c=1
此抛物线解析式为y=

1

4

x²+1．

（2）①证明：如图（2）过点B作BN⊥PS，垂足为N．
∵P点在抛物线y=

1

4

x²+1上．可设P点坐标为（a，

1

4

a²+1）．
∴PS=

1

4

a²+1，OB=NS=2，BN=-a．
∴PN=PS-NS=

1

4

a2-1，
在Rt△PNB中．
PB²=PN²+BN²=（

1

4

a²-1）²+a²=（

1

4

a²+1）²
∴PB=PS=

1

4

a2+1．（6分）
②根据①同理可知BQ=QR．
∴∠1=∠2，
又∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
同理∠SBP=∠5（7分）
∴2∠5+2∠3=180°
∴∠5+∠3=90°
∴∠SBR=90度．
∴△SBR为直角三角形．（8分）
③方法一：如图（3）作QN⊥PS，
设PS=b，QR=c，
∵由①知PS=PB=b．QR=QB=c，PQ=b+c．PN=b-c．
∴QN²=SR²=（b+c）²-（b-c）²
∴SR=2

bc

．（9分）
假设存在点M．且MS=x，则MR=2

bc

-x．
若使△PSM∽△MRQ，
则有

b

x

=

2 bc -x

c

．
即x²-2

bc

x+bc=0
∴x1=x2=

bc

．
∴SR=2

bc

∴M为SR的中点．（11分）
若使△PSM∽△QRM，
则有

b

x

=

c

2 bc -x

．
∴x=

2b bc

b+c

．
∴

MR

MS

=

2 bc -x

x

=

2 bc

2b bc b+c

-1=

c

b

=

QB

BP

=

RO

OS

．
∴M点即为原点O．
综上所述，当点M为SR的中点时．△PSM∽△MRQ；
当点M为原点时，△PSM∽△MRQ．（13分）
方法二：
若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，
∵∠PSM=∠MRQ=90°，
∴有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况．
当△PSM∽△MRQ时．∠SPM=∠RMQ，∠SMP=∠RQM．
由直角三角形两锐角互余性质．知∠PMS+∠QMR=90度．
∴∠PMQ=90度．（9分）
取PQ中点为T．连接MT．则MT=

1

2

PQ=

1

2

（QR+PS）．（10分）
∴MN为直角梯形SRQP的中位线，
∴点M为SR的中点（11分）
∴

RM

MS

=1
当△PSM∽△QRM时，

RM

MS

=

QR

PS

=

QB

BP

∴QB=BP
∵PS∥OB∥QR
∴点M为原点O．
综上所述，当点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ；
当点M为原点时，△PSM∽△QRM．（13分）
解：（1）方法一：
∵B点坐标为（0.2），
∴OB=2，
∵矩形CDEF面积为8，
∴CF=4．
∴C点坐标为（-2，2）．F点坐标为（2，2）．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．
其过三点A（0，1），C（-2.2），F（2，2）．
得

1=c 2=4a-2b+c 2=4a+2b+c

，
解这个方程组，得a=

1

4

，b=0，c=1，
∴此抛物线的解析式为y=

1

4

x²+1．（3分）
方法二：
∵B点坐标为（0.2），
∴OB=2，
∵矩形CDEF面积为8，
∴CF=4．
∴C点坐标为（-2，2），
根据题意可设抛物线解析式为y=ax²+c．
其过点A（0，1）和C（-2.2）

1=c 2=4a+c

解这个方程组，得a=

1

4

，c=1
此抛物线解析式为y=

1

4

x²+1．

（2）①证明：如图（2）过点B作BN⊥PS，垂足为N．
∵P点在抛物线y=

1

4

x²+1上．可设P点坐标为（a，

1

4

a²+1）．
∴PS=

1

4

a²+1，OB=NS=2，BN=-a．
∴PN=PS-NS=

1

4

a2-1，
在Rt△PNB中．
PB²=PN²+BN²=（

1

4

a²-1）²+a²=（

1

4

a²+1）²
∴PB=PS=

1

4

a2+1．（6分）
②根据①同理可知BQ=QR．
∴∠1=∠2，
又∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
同理∠SBP=∠5（7分）
∴2∠5+2∠3=180°
∴∠5+∠3=90°
∴∠SBR=90度．
∴△SBR为直角三角形．（8分）
③方法一：如图（3）作QN⊥PS，
设PS=b，QR=c，
∵由①知PS=PB=b．QR=QB=c，PQ=b+c．PN=b-c．
∴QN²=SR²=（b+c）²-（b-c）²
∴SR=2

bc

．（9分）
假设存在点M．且MS=x，则MR=2

bc

-x．
若使△PSM∽△MRQ，
则有

b

x

=

2 bc -x

c

．
即x²-2

bc

x+bc=0
∴x1=x2=

bc

．
∴SR=2

bc

∴M为SR的中点．（11分）
若使△PSM∽△QRM，
则有

b

x

=

c

2 bc -x

．
∴x=

2b bc

b+c

．
∴

MR

MS

=

2 bc -x

x

=

2 bc

2b bc b+c

-1=

c

b

=

QB

BP

=

RO

OS

．
∴M点即为原点O．
综上所述，当点M为SR的中点时．△PSM∽△MRQ；
当点M为原点时，△PSM∽△MRQ．（13分）
方法二：
若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，
∵∠PSM=∠MRQ=90°，
∴有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况．
当△PSM∽△MRQ时．∠SPM=∠RMQ，∠SMP=∠RQM．
由直角三角形两锐角互余性质．知∠PMS+∠QMR=90度．
∴∠PMQ=90度．（9分）
取PQ中点为T．连接MT．则MT=

1

2

PQ=

1

2

（QR+PS）．（10分）
∴MN为直角梯形SRQP的中位线，
∴点M为SR的中点（11分）
∴

RM

MS

=1
当△PSM∽△QRM时，

RM

MS

=

QR

PS

=

QB

BP

∴QB=BP
∵PS∥OB∥QR
∴点M为原点O．
综上所述，当点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ；
当点M为原点时，△PSM∽△QRM．（13分）