试题

（2006·河北）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）．
（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；
（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形；
（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．

解：（1）由题意知CQ=4t，PC=12-3t，
∴S_△PCQ=

1

2

PC·CQ=-6t²+24t．
∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称，
∴y=2S_△PCQ=-12t²+48t．

（2）当

CP

CA

=

CQ

CB

时，有PQ∥AB，而AP与BQ不平行，这时四边形PQBA是梯形，
∵CA=12，CB=16，CQ=4t，CP=12-3t，
∴

12-3t

12

=

4t

16

，
解得t=2．
∴当t=2秒时，四边形PQBA是梯形．

（3）设存在时刻t，使得PD∥AB，延长PD交BC于点M，如图，
若PD∥AB，则∠QMD=∠B，
又∵∠QDM=∠C=90°，
∴Rt△QMD∽Rt△ABC，
从而

QM

AB

=

QD

AC

，
∵QD=CQ=4t，AC=12，
AB=

122+162

=20，
∴QM=

20

3

t．
若PD∥AB，则

CP

CA

=

CM

CB

，
得

12-3t

12

=

4t+ 20 3 t

16

，
解得t=

12

11

．
∴当t=

12

11

秒时，PD∥AB．

（4）存在时刻t，使得PD⊥AB．
时间段为：2＜t≤3．
延长PD交AB于H，过Q作QR⊥AB于R．在直角三角形APH中，
∵AP=3t，
∴AH=

9

5

t，而HR=DQ=CQ=4t，
在直角三角形BQR中，
∵BQ=16-4t，
∴BR=

4(16-4t)

5

．
∵AB=20．
∴

9

5

t+4t+

4(16-4t)

5

=20，解得t=

36

13

．
∴存在时刻t使得PD⊥AB．

解：（1）由题意知CQ=4t，PC=12-3t，
∴S_△PCQ=

1

2

PC·CQ=-6t²+24t．
∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称，
∴y=2S_△PCQ=-12t²+48t．

（2）当

CP

CA

=

CQ

CB

时，有PQ∥AB，而AP与BQ不平行，这时四边形PQBA是梯形，
∵CA=12，CB=16，CQ=4t，CP=12-3t，
∴

12-3t

12

=

4t

16

，
解得t=2．
∴当t=2秒时，四边形PQBA是梯形．

（3）设存在时刻t，使得PD∥AB，延长PD交BC于点M，如图，
若PD∥AB，则∠QMD=∠B，
又∵∠QDM=∠C=90°，
∴Rt△QMD∽Rt△ABC，
从而

QM

AB

=

QD

AC

，
∵QD=CQ=4t，AC=12，
AB=

122+162

=20，
∴QM=

20

3

t．
若PD∥AB，则

CP

CA

=

CM

CB

，
得

12-3t

12

=

4t+ 20 3 t

16

，
解得t=

12

11

．
∴当t=

12

11

秒时，PD∥AB．

（4）存在时刻t，使得PD⊥AB．
时间段为：2＜t≤3．
延长PD交AB于H，过Q作QR⊥AB于R．在直角三角形APH中，
∵AP=3t，
∴AH=

9

5

t，而HR=DQ=CQ=4t，
在直角三角形BQR中，
∵BQ=16-4t，
∴BR=

4(16-4t)

5

．
∵AB=20．
∴

9

5

t+4t+

4(16-4t)

5

=20，解得t=

36

13

．
∴存在时刻t使得PD⊥AB．