试题

（2006·汾阳市）如图，已知抛物线C₁与坐标轴的交点依次是A（-4，0），B（-2，0），E（0，8）．
（1）求抛物线C₁关于原点对称的抛物线C₂的解析式；
（2）设抛物线C₁的顶点为M，抛物线C₂与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

解：（1）点A（-4，0），点B（-2，0），点E（0，8）关于原点的对称点分别为D（4，0），C（2，0），F（0，-8）．
设抛物线C₂的解析式是y=ax²+bx+c（a≠0），
则

16a+4b+c=0 4a+2b+c=0 c=-8

，
解得

a=-1 b=6 c=-8

，
所以所求抛物线的解析式是y=-x²+6x-8．

（2）由（1）可计算得点M（-3，-1），N（3，1）．
过点N作NH⊥AD，垂足为H．
当运动到时刻t时，AD=2OD=8-2t，NH=1+2t．
根据中心对称的性质OA=OD，OM=ON，
所以四边形MDNA是平行四边形．
所以S=2S_△ADN．
所以，四边形MDNA的面积S=（8-2t）（1+2t）=-4t²+14t+8．
因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知0≤t＜4．
所以所求关系式是S=-4t²+14t+8，t的取值范围是0≤t＜4．

（3）S=-4（t-

7

4

）²+

81

4

，（0≤t＜4）．
所以t=

7

4

时，S有最大值

81

4

．
提示：也可用顶点坐标公式来求．

（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形．
由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD，MN，
所以当AD=MN时四边形MDNA是矩形，
所以OD=ON．所以OD²=ON²=OH²+NH²，
所以t²+4t-2=0．
解之得t₁=

6

-2，t₂=-

6

-2（舍）．
所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时t=

6

-2．
解：（1）点A（-4，0），点B（-2，0），点E（0，8）关于原点的对称点分别为D（4，0），C（2，0），F（0，-8）．
设抛物线C₂的解析式是y=ax²+bx+c（a≠0），
则

16a+4b+c=0 4a+2b+c=0 c=-8

，
解得

a=-1 b=6 c=-8

，
所以所求抛物线的解析式是y=-x²+6x-8．

（2）由（1）可计算得点M（-3，-1），N（3，1）．
过点N作NH⊥AD，垂足为H．
当运动到时刻t时，AD=2OD=8-2t，NH=1+2t．
根据中心对称的性质OA=OD，OM=ON，
所以四边形MDNA是平行四边形．
所以S=2S_△ADN．
所以，四边形MDNA的面积S=（8-2t）（1+2t）=-4t²+14t+8．
因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知0≤t＜4．
所以所求关系式是S=-4t²+14t+8，t的取值范围是0≤t＜4．

（3）S=-4（t-

7

4

）²+

81

4

，（0≤t＜4）．
所以t=

7

4

时，S有最大值

81

4

．
提示：也可用顶点坐标公式来求．

（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形．
由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD，MN，
所以当AD=MN时四边形MDNA是矩形，
所以OD=ON．所以OD²=ON²=OH²+NH²，
所以t²+4t-2=0．
解之得t₁=

6

-2，t₂=-

6

-2（舍）．
所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时t=

6

-2．