试题

（2006·常德）如图，在直角坐标系中，已知点A（

3

，0），B（-

3

，0），以点A为圆心，AB为半径的圆与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E．
（1）若抛物线y=

1

3

x²+bx+c经过C，D两点，求抛物线的解析式，并判断点B是否在该抛物线上；
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P，使得△PBD的周长最小；
（3）设Q为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）∵OA=

3

，AB=AC=2

3

，
∴B（-

3

，0），C（3

3

，0），连接AD，
在Rt△AOD中，AD=2

3

，OA=

3

，
∴OD=

AD2-OA2

=3，
∴D的坐标为（0，-3），（3分）
又∵D，C两点在抛物线上，
∴

c=-3 1 3 ·(3 3 )2+3 3 b+c=0

，
解得

b=- 2 3 3 c=-3

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3，（5分）
当x=-

3

时，y=0，
∴点B（-

3

，0）在抛物线上，（6分）

（2）∵y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3，
=

1

3

（x-

3

）²-4，
∴抛物线y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3的对称轴方程为x=

3

，（7分）
在抛物线的对称轴上存在点P，使△PBD的周长最小．
∵BD的长为定值∴要使△PBD周长最小只需PB+PD最小．
连接DC，则DC与对称轴的交点即为使△PBD周长最小的点．
设直线DC的解析式为y=mx+n．
由

n=-3 3 3 m+n=0

，
得

m= 3 3 n=-3

，
∴直线DC的解析式为y=

3

3

x-3．
由

y= 3 3 x-3 x= 3

，
得

x= 3 y=-2

，
故点P的坐标为(

3

，-2)．（9分）

（3）存在，设Q（

3

，t）为抛物线对称轴x=

3

上一点，
M在抛物线上要使四边形BCQM为平行四边形，
则BC∥QM且BC=QM，点M在对称轴的左侧．
于是，过点Q作直线L∥BC与抛物线交于点M（x_m，t），
由BC=QM得QM=4

3

，
从而x_m=-3

3

，t=12，
另外：M在抛物线的顶点上也可以构造平行四边形！
故在抛物线上存在点M（-3

3

，12）或（5

3

，12）或（

3

，-4），使得四边形BCQM为平行四边形．（12分）
解：（1）∵OA=

3

，AB=AC=2

3

，
∴B（-

3

，0），C（3

3

，0），连接AD，
在Rt△AOD中，AD=2

3

，OA=

3

，
∴OD=

AD2-OA2

=3，
∴D的坐标为（0，-3），（3分）
又∵D，C两点在抛物线上，
∴

c=-3 1 3 ·(3 3 )2+3 3 b+c=0

，
解得

b=- 2 3 3 c=-3

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3，（5分）
当x=-

3

时，y=0，
∴点B（-

3

，0）在抛物线上，（6分）

（2）∵y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3，
=

1

3

（x-

3

）²-4，
∴抛物线y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3的对称轴方程为x=

3

，（7分）
在抛物线的对称轴上存在点P，使△PBD的周长最小．
∵BD的长为定值∴要使△PBD周长最小只需PB+PD最小．
连接DC，则DC与对称轴的交点即为使△PBD周长最小的点．
设直线DC的解析式为y=mx+n．
由

n=-3 3 3 m+n=0

，
得

m= 3 3 n=-3

，
∴直线DC的解析式为y=

3

3

x-3．
由

y= 3 3 x-3 x= 3

，
得

x= 3 y=-2

，
故点P的坐标为(

3

，-2)．（9分）

（3）存在，设Q（

3

，t）为抛物线对称轴x=

3

上一点，
M在抛物线上要使四边形BCQM为平行四边形，
则BC∥QM且BC=QM，点M在对称轴的左侧．
于是，过点Q作直线L∥BC与抛物线交于点M（x_m，t），
由BC=QM得QM=4

3

，
从而x_m=-3

3

，t=12，
另外：M在抛物线的顶点上也可以构造平行四边形！
故在抛物线上存在点M（-3

3

，12）或（5

3

，12）或（

3

，-4），使得四边形BCQM为平行四边形．（12分）