试题

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）．
（1）试求出抛物线的解析式；
（2）问：在抛物线的对称轴上是否存在一个点Q，使得△QAC的周长最小，试求出△QAC的周长的最小值，并求出点Q的坐标；
（3）现有一个动点P从抛物线的顶点T出发，在对称轴上以1个单位长度每秒的速度向y轴的正方向运动，试问，经过几秒后，△PAC是等腰三角形？

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴把此三点代入得

a+b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=1 b=-4 c=3

，
故抛物线的解析式为，y=x²-4x+3；

（2）点A关于对称轴的对称点即为点B，
连接B、C，交x=2于点Q，
可得直线BC：
y=-x+3，与对称轴交点Q（2，1），BC=3

2

，
可得△QAC周长为

10

+3

2

．

（3）设t秒后△PAC是等腰三角形，
因为P在对称轴上，
所以P点坐标为（2，t-1）于是
①当PA=CA时；根据勾股定理得：（2-1）²+（t-1）²=1²+3²；
解得t=4秒或t=-2秒（负值舍去）．
②PC=PA时；根据勾股定理得：2²+（t-4）²=（2-1）²+（t-1）²；
解得t=3秒；
③CP=CA时；根据勾股定理得：2²+（t-4）²=1²+3²；
解得t=（4+

6

）秒或t=（4-

6

）秒
所以经过4秒，或3秒，或4+

6

秒，或4-

6

秒时，△PAC是等腰三角形．
解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴把此三点代入得

a+b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=1 b=-4 c=3

，
故抛物线的解析式为，y=x²-4x+3；

（2）点A关于对称轴的对称点即为点B，
连接B、C，交x=2于点Q，
可得直线BC：
y=-x+3，与对称轴交点Q（2，1），BC=3

2

，
可得△QAC周长为

10

+3

2

．

（3）设t秒后△PAC是等腰三角形，
因为P在对称轴上，
所以P点坐标为（2，t-1）于是
①当PA=CA时；根据勾股定理得：（2-1）²+（t-1）²=1²+3²；
解得t=4秒或t=-2秒（负值舍去）．
②PC=PA时；根据勾股定理得：2²+（t-4）²=（2-1）²+（t-1）²；
解得t=3秒；
③CP=CA时；根据勾股定理得：2²+（t-4）²=1²+3²；
解得t=（4+

6

）秒或t=（4-

6

）秒
所以经过4秒，或3秒，或4+

6

秒，或4-

6

秒时，△PAC是等腰三角形．