试题

如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），连接AB．若A点沿y轴向下平移一个单位长度，在保持线段AB的长度不变的条件下，B点沿x轴向右平移．
（1）求线段BD的长度；
（2）一顶点为（1，-3）的抛物线经过D点，求这个抛物线的解析式；
（3）连接AD，点P为AD上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F．试探究矩形PEOF的周长L和面积S是否都随P点的运动而变化？若变化，请求出最大值；若不变化，请求出这个不变值．

解：（1）∵A（0，4），B（3，0），
∴OA=4，OB=3，C（0，3）；
Rt△OAB中，由勾股定理可得：AB=5；
Rt△OCD中，AB=CD=5，OC=3，则OD=4；
故D（4，0），BD=OD-OB=1；
即BD=1．

（2）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²-3，
由题意得：a（4-1）²-3=0，a=

1

3

；
故：y=

1

3

x2-

2

3

x-

8

3

．

（3）由（1）知D（4，0），C（0，4）；
则△OAD是等腰直角三角形，且直线CD：y=-x+4；
因此△AFP、△PED都是等腰直角三角形，
∴PF=AF，PE=ED；
故矩形的周长C=PF+OF+OE+PE=AF+OF+OE+ED=OA+OD=8，
因此矩形PFOE的周长是个定值，且为8；
设点P（x，-x+4），则有：
矩形的面积S=x（-x+4）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴矩形的面积S发生变化，且最大值为4；
综上可知：矩形的周长不变，C=8，面积S发生变化，最大值为4．
解：（1）∵A（0，4），B（3，0），
∴OA=4，OB=3，C（0，3）；
Rt△OAB中，由勾股定理可得：AB=5；
Rt△OCD中，AB=CD=5，OC=3，则OD=4；
故D（4，0），BD=OD-OB=1；
即BD=1．

（2）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）²-3，
由题意得：a（4-1）²-3=0，a=

1

3

；
故：y=

1

3

x2-

2

3

x-

8

3

．

（3）由（1）知D（4，0），C（0，4）；
则△OAD是等腰直角三角形，且直线CD：y=-x+4；
因此△AFP、△PED都是等腰直角三角形，
∴PF=AF，PE=ED；
故矩形的周长C=PF+OF+OE+PE=AF+OF+OE+ED=OA+OD=8，
因此矩形PFOE的周长是个定值，且为8；
设点P（x，-x+4），则有：
矩形的面积S=x（-x+4）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴矩形的面积S发生变化，且最大值为4；
综上可知：矩形的周长不变，C=8，面积S发生变化，最大值为4．